Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2004/szeptember, 330 - 331. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}\le \text{log}{}_{5}x\mathrm{.}}\end{array}$  (11 pont)   2. Egy óra számlapja 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy 12 órakor az egyik csúcs felé mutatnak. $a)$ Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján? $b)$ Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából?  (12 pont)   3. Az egészséges táplálkozásról készítettek egy kiadványt, amelyből többek között az is megtudható, hogy a koleszterin állati eredetű élelmiszereinkben található. A következő táblázat néhány élelmiszer koleszterintartalmát adja meg (mg/100 g): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}{\displaystyle \text{ 1. Velő}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3000}}& {\displaystyle \text{ 10. Sovány sertéshús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 68}}\\ {\displaystyle \text{ 2. Sertésmáj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 460}}& {\displaystyle \text{ 11. Gépsonka}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45}}\\ {\displaystyle \text{ 3. Marhamáj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 305}}& {\displaystyle \text{ 12. Szárnyashús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 38}}\\ {\displaystyle \text{ 4. Kenőmájas}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 224}}& {\displaystyle \text{ 13. Füstölt karaj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36}}\\ {\displaystyle \text{ 5. Tepertő}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 155}}& {\displaystyle \text{ 14. Vaj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 230}}\\ {\displaystyle \text{ 6. Téliszalámi}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 150}}& {\displaystyle \text{ 15. Ementáli sajt}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 135}}\\ {\displaystyle \text{ 7. Császárhús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 140}}& {\displaystyle \text{ 16. Krémsajt}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 83}}\\ {\displaystyle \text{ 8. Tarja}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 95}}& {\displaystyle \text{ 17. Anyatej}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20}}\\ {\displaystyle \text{ 9. Marhahús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 75}}& {\displaystyle \text{ 18. Tehéntej}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\end{array}}}\end{array}$ $a)$ A táblázatban szereplő élelmiszerek közül hármat hány különböző módon lehet kiválasztani? $b)$ Ha a táblázatban szereplő velő, sertésmáj, marhamáj, tepertő és császárhús koleszterintartalmának összehasonlítására oszlopdiagramot készítenének, akkor hány különböző sorrendben szerepeltethetnék a kiválasztott élelmiszereket? $c)$ Ha a táblázatban szereplő 18 élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege nem éri el a 70-et? $d)$ Ha a táblázatban szereplő 18 élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege kisebb, mint 3000?  (14 pont)     4. A 12 cm élhosszúságú kocka alakú edényt a $\frac{2}{3}$ részéig megtöltötték folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentették egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévő folyadék vízszintjével.     Tudjuk, hogy a $P$ pont felezi az $AB$ szakaszt. Milyen magasan van a folyadék a $C$ csúcshoz képest?  (14 pont)   II. rész   5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{1}{2}+\text{sin}x\right)}^2+{\left(y^2+\text{cos}x\right)}^2=0.}\end{array}$  (16 pont)   6. Az $f\left(x\right)$ egy másodfokú függvény, a $g\left(x\right)$ pedig fordított arányosság. Tudjuk, hogy $f\left(1\right)=g\left(1\right)=6$, $f\left(2\right)=g\left(2\right)=3$, $f\left(3\right)=g\left(3\right)=2$. $a)$ Van-e további $x$, amelyre $f\left(x\right)=g\left(x\right)$? $b)$ Határozzuk meg a $g\left(12\right)$ értékét. $c)$ Határozzuk meg az $f\left(15\right)$ értékét. $d)$ Található-e olyan $x$ valós szám, amelyre $f\left(x\right)$ értéke egyenlő $g\left(x\right)$ reciprokával?  (16 pont)   7. Legyen $N=9\cdot 2^{3n}+64\cdot 3^{4n}$. $a)$ Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan $n$ természetes szám, amelyre $N$ az 5-nek páratlan számú többszöröse. $b)$ Bizonyítsuk be, hogy $N$ minden $n$ természetes szám esetén osztható 73-mal.  (16 pont)   8. Az $f\left(x\right)=\text{sin}x$ és $g\left(x\right)=\text{cos}x$ hozzárendeléssel megadott függvények a $\left[0;2\pi \right]$ intervallumon értelmezettek. $a)$ Írjuk fel $f\left(x\right)$ görbéjéhez az $x-2y=0$ egyenletű egyenessel párhuzamos érintő egyenletét. $b)$ Mekkora területű az $f\left(x\right)$ és a $g\left(x\right)$ görbéje által határolt síkidom?  (16 pont)   9. Az origó középpontú 5 egység sugarú körvonalra illeszkedő 12 rácspont (olyan pont, amelyek mindkét koordinátája egész szám) meghatároz egy tizenkétszöget. $a)$ Mutassuk meg, hogy ennek a tizenkétszögnek nincs beírt köre. $b)$ Számítsuk ki a tizenkétszög területét. $c)$ Egy $6\text{cm}$ magas csonkagúla alakú margarinos dobozt terveznek a feladatban szereplő tizenkétszöghöz hasonló és $74\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ területű fedőlappal. Mekkora alapterületű lesz a doboz, ha $4$ deciliteresre tervezik?  (16 pont)