Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2004/szeptember, 330 - 331. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:
(x-1)216log5x.
 (11 pont)
 

2. Egy óra számlapja 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy 12 órakor az egyik csúcs felé mutatnak.
a) Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján?
b) Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából?  (12 pont)
 

3. Az egészséges táplálkozásról készítettek egy kiadványt, amelyből többek között az is megtudható, hogy a koleszterin állati eredetű élelmiszereinkben található. A következő táblázat néhány élelmiszer koleszterintartalmát adja meg (mg/100 g):
  1. Velő 3000  10. Sovány sertéshús 68  2. Sertésmáj 460  11. Gépsonka 45  3. Marhamáj 305  12. Szárnyashús 38  4. Kenőmájas 224  13. Füstölt karaj 36  5. Tepertő 155  14. Vaj 230  6. Téliszalámi 150  15. Ementáli sajt 135  7. Császárhús 140  16. Krémsajt 83  8. Tarja 95  17. Anyatej 20  9. Marhahús 75  18. Tehéntej 10  

a) A táblázatban szereplő élelmiszerek közül hármat hány különböző módon lehet kiválasztani?
b) Ha a táblázatban szereplő velő, sertésmáj, marhamáj, tepertő és császárhús koleszterintartalmának összehasonlítására oszlopdiagramot készítenének, akkor hány különböző sorrendben szerepeltethetnék a kiválasztott élelmiszereket?
c) Ha a táblázatban szereplő 18 élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege nem éri el a 70-et?
d) Ha a táblázatban szereplő 18 élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege kisebb, mint 3000?  (14 pont)
 

 
4. A 12 cm élhosszúságú kocka alakú edényt a 23 részéig megtöltötték folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentették egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévő folyadék vízszintjével.
 
 

Tudjuk, hogy a P pont felezi az AB szakaszt. Milyen magasan van a folyadék a C csúcshoz képest?  (14 pont)

 
II. rész
 

5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán:
(12+sinx)2+(y2+cosx)2=0.
 (16 pont)

 

6. Az f(x) egy másodfokú függvény, a g(x) pedig fordított arányosság. Tudjuk, hogy f(1)=g(1)=6, f(2)=g(2)=3, f(3)=g(3)=2.
a) Van-e további x, amelyre f(x)=g(x)?
b) Határozzuk meg a g(12) értékét.
c) Határozzuk meg az f(15) értékét.
d) Található-e olyan x valós szám, amelyre f(x) értéke egyenlő g(x) reciprokával?  (16 pont)
 

7. Legyen N=923n+6434n.
a) Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan n természetes szám, amelyre N az 5-nek páratlan számú többszöröse.
b) Bizonyítsuk be, hogy N minden n természetes szám esetén osztható 73-mal.  (16 pont)
 

8. Az f(x)=sinx és g(x)=cosx hozzárendeléssel megadott függvények a [0;2π] intervallumon értelmezettek.
a) Írjuk fel f(x) görbéjéhez az x-2y=0 egyenletű egyenessel párhuzamos érintő egyenletét.
b) Mekkora területű az f(x) és a g(x) görbéje által határolt síkidom?  (16 pont)
 

9. Az origó középpontú 5 egység sugarú körvonalra illeszkedő 12 rácspont (olyan pont, amelyek mindkét koordinátája egész szám) meghatároz egy tizenkétszöget.
a) Mutassuk meg, hogy ennek a tizenkétszögnek nincs beírt köre.
b) Számítsuk ki a tizenkétszög területét.
c) Egy 6cm magas csonkagúla alakú margarinos dobozt terveznek a feladatban szereplő tizenkétszöghöz hasonló és 74cm2 területű fedőlappal. Mekkora alapterületű lesz a doboz, ha 4 deciliteresre tervezik?  (16 pont)