Cím:	Megoldásvázlatok a 2004/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2004/október, 398 - 403. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}\le \text{log}{}_{5}x\mathrm{.}}\end{array}$ (11 pont) Megoldás. Ábrázoljuk az $f\left(x\right)=\frac{{\left(x-1\right)}^2}{16}$ és a $g\left(x\right)=\text{log}{}_{5}x$ hozzárendeléssel megadott függvényeket. Az ábráról leolvashatjuk (és helyettesítéssel ellenőrizhetjük), hogy a két görbe $x=1$ és $x=5$ esetén metszi egymást.     Az egyenlőtlenség megoldása: $x\in \left[1;5\right]$.   2. Egy óra számlapja $20\text{cm}$ oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy $12$ órakor az egyik csúcs felé mutatnak. $a)$ Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján? $b)$ Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából?  (12 pont)   Megoldás. $a)$ A nagymutató nem lehet hosszabb a 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög beírt körének sugaránál. Mivel az $a$ oldalú szabályos háromszög területe: $t=\frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}$, a kerülete: $k=3a$, most $t=100\sqrt[]{3}\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$, $k=60$ cm. A $t=rs$ ($r$ a beírt kör sugara, $s$ a kerület fele) összefüggés szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{100\sqrt[]{3}}{30}=\frac{10\sqrt[]{3}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ A nagymutató nem lehet hosszabb $\frac{10\sqrt[]{3}}{3}$ cm-nél.   $b)$ A mutatók által kijelölt $CKQ$ derékszögű háromszög hasonló a $CFB$ derékszögű háromszöghöz (a szögeik páronként egyenlők). Az $ABC$ szabályos háromszögben a $K$ pont egyben a súlypont is, így $CK:CF=2:3$. Ez lesz a két háromszög hasonlóságának aránya is.     Tudjuk, hogy a területek a hasonlóság arányának négyzetével arányosak, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{CKQ}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot t_{CFB}=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt[]{3}}{4}=\frac{200\sqrt[]{3}}{9}\approx 38\mathrm{,}5\text{(c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>). }}\end{array}$ Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes 38,5 $\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ területű részt jelöl ki az óra számlapjából.   3. Az egészséges táplálkozásról készítettek egy kiadványt, amelyből többek között az is megtudható, hogy a koleszterin állati eredetű élelmiszereinkben található. A következő táblázat néhány élelmiszer koleszterintartalmát adja meg (mg/100 g): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}{\displaystyle \text{ 1. Velő}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3000}}& {\displaystyle \text{ 10. Sovány sertéshús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 68}}\\ {\displaystyle \text{ 2. Sertésmáj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 460}}& {\displaystyle \text{ 11. Gépsonka}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 45}}\\ {\displaystyle \text{ 3. Marhamáj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 305}}& {\displaystyle \text{ 12. Szárnyashús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 38}}\\ {\displaystyle \text{ 4. Kenőmájas}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 224}}& {\displaystyle \text{ 13. Füstölt karaj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 36}}\\ {\displaystyle \text{ 5. Tepertő}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 155}}& {\displaystyle \text{ 14. Vaj}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 230}}\\ {\displaystyle \text{ 6. Téliszalámi}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 150}}& {\displaystyle \text{ 15. Ementáli sajt}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 135}}\\ {\displaystyle \text{ 7. Császárhús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 140}}& {\displaystyle \text{ 16. Krémsajt}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 83}}\\ {\displaystyle \text{ 8. Tarja}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 95}}& {\displaystyle \text{ 17. Anyatej}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 20}}\\ {\displaystyle \text{ 9. Marhahús}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 75}}& {\displaystyle \text{ 18. Tehéntej}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\end{array}}}\end{array}$ $a)$ A táblázatban szereplő élelmiszerek közül hármat hány különböző módon lehet kiválasztani? $b)$ Ha a táblázatban szereplő velő, sertésmáj, marhamáj, tepertő és császárhús koleszterintartalmának összehasonlítására oszlopdiagramot készítenének, akkor hány különböző sorrendben szerepeltethetnék a kiválasztott élelmiszereket? $c)$ Ha a táblázatban szereplő $18$ élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege nem éri el a $70$-et? $d)$ Ha a táblázatban szereplő $18$ élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege kisebb, mint $3000$?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ A táblázat 18 élelmiszere közül 3-at $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3}\right)=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{1\cdot 2\cdot 3}=816$ különböző módon lehet kiválasztani. $b)$ Az öt élelmiszert $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ különböző sorrendben lehet felsorolni, ennyi különböző sorrend szerepelhetne az oszlopdiagramokon. $c)$ Csak azokkal az élelmiszerekkel kell foglalkoznunk, amelyek koleszterin tartalma 70 alatti. Ilyen hat darab van a táblázatban (sovány sertéshús 68, gépsonka 45, szárnyashús 38, füstölt karaj 36, anyatej 20, tehéntej 10). Két esetben lehetséges, hogy a kiválasztott három élelmiszer koleszterintartalmának összege nem éri el a 70-et: $38+20+10$, illetve $36+20+10$. Az összes esetek száma: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3}\right)$, azaz 816. A véletlen kiválasztás esetén bármely három élelmiszer kiválasztásának valószínűségét egyenlőnek tekintjük, ezért alkalmazzuk a klasszikus valószínűség-számítási modellt. A keresett valószínűség meghatározásához vesszük a kedvező esetek és az összes esetek számának hányadosát: $\frac{2}{816}=\frac{1}{408}$. $d)$ A táblázatban egyetlen 3000-es érték szerepel és minden további szám 1000 alatti, ezért ha a kiválasztott három cédula egyikén sem szerepel a velő, akkor a három szám összege 3000-nél kisebb. Emiatt a kedvező esetek száma: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{3}\right)=\frac{17\cdot 16\cdot 15}{1\cdot 2\cdot 3}=680$, az összes esetek száma $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3}\right)$, azaz 816. A keresett valószínűség: $\frac{680}{816}=\frac{5}{6}$.   4. A $12\text{cm}$ élhosszúságú kocka alakú edényt a $\frac{2}{3}$ részéig megtöltötték folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentették egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévő folyadék vízszintjével.     Tudjuk, hogy a $P$ pont felezi az $AB$ szakaszt. Milyen magasan van a folyadék a $C$ csúcshoz képest?  (14 pont)   Megoldás. Az ábrát kiegészítettük.     Megállapítható a következő szakaszok hossza: $PR=4$ cm, $RQ=12$ cm, $QC=10$ cm. $PQR▵\sim QCT▵$, mert mindkettő derékszögű, továbbá a $C$-nél és a $Q$-nál lévő hegyesszögük egyenlő (merőleges szárú szögek). Mivel $PR:RQ=4:12=1:3$, ezért $QT:TC=1:3$, azaz $QT=\frac{TC}{3}$. A $QTC$ derékszögű háromszögre felírható a Pitagorasz-tétel: ${\left(\frac{TC}{3}\right)}^2+T{C}^2=100$, amiből $TC=3\sqrt[]{10}\approx 9\mathrm{,}5$. Vagyis 9,5 cm magasan van a folyadék szintje a $C$ csúcshoz képest.   II. rész     5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{1}{2}+\text{sin}x\right)}^2+{\left(y^2+\text{cos}x\right)}^2=0.}\end{array}$ (16 pont)   Megoldás. Két nem negatív szám összege akkor lehet 0, ha mindkettő 0. Ezért $\text{sin}x=-\frac{1}{2}$, azaz $x_1=-\frac{\pi }{6}+2k_1\pi$ $\left(k_1\in \text{Z}\right)$, $x_2=\frac{7\pi }{6}+2k_2\pi$ $\left(k_2\in \text{Z}\right)$, továbbá $y^2+\text{cos}x=0$. Az $x_1$ esetén $\text{cos}x>0$, így $y^2+\text{cos}x=0$ nem teljesülhet semmilyen valós $y$ értékre sem. Az $x_2$ esetén $\text{cos}x=-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$, vagyis $y^2=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$, amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle y_1=\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}\approx 0\mathrm{,}\mathrm{93,}{y}_2=-\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}\approx -0\mathrm{,}93.}\end{array}$ A megoldás: $x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ $\left(k\in \text{Z}\right)$, $y=\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}$ vagy $y=-\sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}$.   6. Az $f\left(x\right)$ egy másodfokú függvény, a $g\left(x\right)$ pedig fordított arányosság. Tudjuk, hogy $f\left(1\right)=g\left(1\right)=6$, $f\left(2\right)=g\left(2\right)=3$, $f\left(3\right)=g\left(3\right)=2$. $a)$ Van-e további $x$, amelyre $f\left(x\right)=g\left(x\right)$? $b)$ Határozzuk meg a $g\left(12\right)$ értékét. $c)$ Határozzuk meg az $f\left(15\right)$ értékét. $d)$ Található-e olyan $x$ valós szám, amelyre $f\left(x\right)$ értéke egyenlő $g\left(x\right)$ reciprokával?  (16 pont)   Megoldás. Legyen $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ hozzárendelésű másodfokú függvény. Tudjuk, hogy $f\left(1\right)=a+b+c=6$, $f\left(2\right)=4a+2b+c=3$, $f\left(3\right)=9a+3b+c=2$. Az így kapott egyenletrendszer megoldása: $a=1$, $b=-6$, $c=11$, azaz $f\left(x\right)=x^2-6x+11$. Legyen $g\left(x\right)=\frac{d}{x}$ hozzárendelésű fordított arányosság. Tudjuk, hogy $g\left(1\right)=\frac{d}{1}=6$, azaz $g\left(x\right)=\frac{6}{x}$, és ekkor a másik két feltétel is teljesül. $a)$ Keressük az összes valós $x$ értéket, amelyre $f\left(x\right)=g\left(x\right)$, vagyis keressük az $x^2-6x+11=\frac{6}{x}$ egyenlet megoldását. $x$-szel szorozhatunk ($x\ne 0$), majd rendezünk: $x^3-6x^2+11x-6=0$. Ennek az egyenletnek az 1, 2 és a 3 gyökei, de egy harmadfokú egyenletnek 3-nál több valós gyöke nincs, így további megfelelő $x$ nem létezik. $b)$ $g\left(12\right)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. $c)$ $f\left(15\right)={15}^2-6\cdot 15+11=146$. $d)$ Keressük az $f\left(x\right)=\frac{1}{g\left(x\right)}$, azaz $x^2-6x+11=\frac{x}{6}$ egyenlet megoldását. A szorzás és a rendezés után: $6x^2-37x+66=0$. Az egyenlet diszkriminánsa negatív, így nincs olyan valós szám, amelyre $f\left(x\right)$ értéke egyenlő lenne $g\left(x\right)$ reciprokával.   7. Legyen $N=9\cdot 2^{3n}+64\cdot 3^{4n}$. $a)$ Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan $n$ természetes szám, amelyre $N$ az $5$-nek páratlan számú többszöröse. $b)$ Bizonyítsuk be, hogy $N$ minden $n$ természetes szám esetén osztható $73$-mal.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Ha $n=0$, akkor $N=73$, egyébként az $N$ két páros szám összege, tehát páros, így nem lehet egyenlő az 5 páratlan többszörösével. $b)$ $N=9\cdot 2^{3n}+64\cdot 3^{4n}=64\cdot {81}^n+9\cdot 8^n=64\left({81}^n-8^n\right)+73\cdot 8^n$. Mivel a ${81}^n-8^n$ különbség $\left(81-8\right)\left({81}^{n-1}+{81}^{n-2}\cdot 8+\text{...}+81\cdot 8^{n-2}+8^{n-1}\right)$ alakban írható, így látható, hogy $64\left({81}^n-8^n\right)$ és $73\cdot 8^n$ is osztható 73-mal, ami a bizonyítandó állítást jelenti.   8. Az $f\left(x\right)=\text{sin}x$ és $g\left(x\right)=\text{cos}x$ hozzárendeléssel megadott függvények a $\left[0;2\pi \right]$ intervallumon értelmezettek. $a)$ Írjuk fel $f\left(x\right)$ görbéjéhez az $x-2y=0$ egyenletű egyenessel párhuzamos érintő egyenletét. $b)$ Mekkora területű az $f\left(x\right)$ és a $g\left(x\right)$ görbéje által határolt síkidom?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az $x-2y=0$ egyenletű egyenes normálvektora: $\overrightarrow{n}\left(1;-2\right)$, meredeksége $\frac{1}{2}$. Az $f\left(x\right)$ függvény görbéjéhez az $x$ helyen húzott érintő meredeksége: $f\text{'}\left(x\right)=\left(\text{sin}x\right)\text{'}=\text{cos}x$. Vagyis a $\text{cos}x=\frac{1}{2}$ egyenlet megoldását kell megadnunk a $\left[0;2\pi \right]$-n. Két megfelelő értéket kapunk $x$-re: I. eset: $x_1=\frac{\pi }{3}$, ekkor $f\left(x_1\right)=\text{sin}\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$, azaz az érintő illeszkedik a $\left(\frac{\pi }{3};\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)$ koordinátájú pontra. Ekkor az érintő egyenlete: $x-2y=\frac{\pi }{3}-\sqrt[]{3}$. II. eset: $x_2=\frac{5\pi }{3}$, ekkor $f\left(x_2\right)=\text{sin}\left(\frac{5\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$, azaz az érintő illeszkedik az $\left(\frac{5\pi }{3};-\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)$ koordinátájú pontra. Ekkor az érintő egyenlete: $x-2y=\frac{5\pi }{3}+\sqrt[]{3}$. $b)$ A $\left[0;2\pi \right]$-n az $f\left(x\right)=\text{sin}x$ és a $g\left(x\right)=\text{cos}x$ görbéje $x=\frac{\pi }{4}$-nél és $x=\frac{5\pi }{4}$-nél metszi egymást, a zárt síkidomot a $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)$ és $\left(\frac{5\pi }{4};-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)$ koordinátájú pontok közötti két görbe határolja. A $\left[\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]$-n az $f\left(x\right)$ van felül, és a síkidom egy része az $x$ tengely alatt található. Tudjuk, hogy a síkidom területe ebben az esetben is a következő határozott integrállal egyenlő: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{5\pi }{4}}{\int }}\left(\text{sin}x-\text{cos}x\right)dx\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt Newton‐Leibniz tétele segítségével számíthatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle T={\left[-\text{cos}x-\text{sin}x\right]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}=-\text{cos}\left(\frac{5\pi }{4}\right)-\text{sin}\left(\frac{5\pi }{4}\right)+\text{cos}\frac{\pi }{4}+\text{sin}\frac{\pi }{4}=4\frac{\sqrt[]{2}}{2}=2\sqrt[]{2}}\end{array}$ (területegység).   9. Az origó középpontú $5$ egység sugarú körvonalra illeszkedő $12$ rácspont (olyan pont, amelyek mindkét koordinátája egész szám) meghatároz egy tizenkétszöget. $a)$ Mutassuk meg, hogy ennek a tizenkétszögnek nincs beírt köre. $b)$ Számítsuk ki a tizenkétszög területét. $c)$ Egy $6\text{cm}$ magas csonkagúla alakú margarinos dobozt terveznek a feladatban szereplő tizenkétszöghöz hasonló és $74\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ területű fedőlappal. Mekkora alapterületű lesz a doboz, ha $4$ deciliteresre tervezik?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ A tizenkétszög három szomszédos csúcsa: $A\left(5;0\right)$, $B\left(4;3\right)$, $C\left(3;4\right)$. Ha lenne beírt köre a tizenkétszögnek, akkor egy origó középpontú körnek érintenie kellene az $AB=\sqrt[]{10}$ és a $BC=\sqrt[]{2}$ hosszúságú oldalakat is. A sokszög ugyanis középpontosan szimmetrikus az origóra, így ha van beírt kör, annak középpontja az origó.     Az $OAB$ egyenlő szárú háromszögben az $O$-ból húzható $O{T}_1$ magasság hosszát Pitagorasz-tétellel kiszámíthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle O{T}_1=\sqrt[]{5^2-{\left(\frac{\sqrt[]{10}}{2}\right)}^2}=\frac{3}{2}\sqrt[]{10}\text{(egység).}}\end{array}$ Az $OBC$ egyenlő szárú háromszögben az $O$-ból húzható $O{T}_2$ magasság hosszát is Pitagorasz-tétellel kiszámíthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle O{T}_2=\sqrt[]{5^2-{\left(\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)}^2}=\frac{7}{2}\sqrt[]{2}\text{(egység).}}\end{array}$ Mivel $O{T}_1\ne O{T}_2$, így láthatóan nincs beírt köre a tizenkétszögnek. $b)$ A feladatban szereplő tizenkétszög 8 db $OAB$ háromszöggel egybevágó, és 4 db $OBC$ háromszöggel egybevágó háromszögből rakható össze. Ezen egyenlő szárú háromszögek alapjainak és alapjaihoz tartozó magasságainak meghatározása után kiszámítjuk a területüket: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{OAB}=\frac{\sqrt[]{10}\cdot \frac{3}{2}\sqrt[]{10}}{2}=\frac{15}{2}\mathrm{,}{t}_{OBC}=\frac{\sqrt[]{2}\cdot \frac{7}{2}\sqrt[]{2}}{2}=\frac{7}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az előzőek alapján a tizenkétszög területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=8\cdot t_{OAB}+4\cdot t_{OBC}=8\cdot \frac{15}{2}+4\cdot \frac{7}{2}=74\text{(területegység).}}\end{array}$ $c)$ A doboz térfogata 400 $\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Alkalmazzuk a csonkagúla térfogatképletét: $V=\frac{m}{3}\left(T+\sqrt[]{Tt}+t\right)$. Amit tudunk, azt helyettesítsük be: $400=\frac{6}{3}\left(74+\sqrt[]{74t}+t\right)$. Ekkor a $\sqrt[]{t}$-re másodfokú, $t+\sqrt[]{74}\cdot \sqrt[]{t}-126=0$ egyenletet kapjuk. Az egyenlet pozitív gyökéből számítható az alaplap területe: $t\approx 59\mathrm{,}6\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$.