Cím: Megoldásvázlatok a 2004/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2004/október, 398 - 403. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

 
1. Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:
(x-1)216log5x.(11 pont)

Megoldás. Ábrázoljuk az f(x)=(x-1)216 és a g(x)=log5x hozzárendeléssel megadott függvényeket. Az ábráról leolvashatjuk (és helyettesítéssel ellenőrizhetjük), hogy a két görbe x=1 és x=5 esetén metszi egymást.
 
 

Az egyenlőtlenség megoldása: x[1;5].
 
2. Egy óra számlapja 20cm oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy 12 órakor az egyik csúcs felé mutatnak.
a) Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján?
b) Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából?  (12 pont)

 
Megoldás. a) A nagymutató nem lehet hosszabb a 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög beírt körének sugaránál. Mivel az a oldalú szabályos háromszög területe: t=a234, a kerülete: k=3a, most t=1003cm2, k=60 cm. A t=rs (r a beírt kör sugara, s a kerület fele) összefüggés szerint:
r=100330=1033.

A nagymutató nem lehet hosszabb 1033 cm-nél.
 
b) A mutatók által kijelölt CKQ derékszögű háromszög hasonló a CFB derékszögű háromszöghöz (a szögeik páronként egyenlők). Az ABC szabályos háromszögben a K pont egyben a súlypont is, így CK:CF=2:3. Ez lesz a két háromszög hasonlóságának aránya is.
 
 

Tudjuk, hogy a területek a hasonlóság arányának négyzetével arányosak, ezért
tCKQ=(23)2tCFB=4912a234=2003938,5(cm2).  
Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes 38,5 cm2 területű részt jelöl ki az óra számlapjából.
 
3. Az egészséges táplálkozásról készítettek egy kiadványt, amelyből többek között az is megtudható, hogy a koleszterin állati eredetű élelmiszereinkben található. A következő táblázat néhány élelmiszer koleszterintartalmát adja meg (mg/100 g):
  1. Velő 3000  10. Sovány sertéshús 68  2. Sertésmáj 460  11. Gépsonka 45  3. Marhamáj 305  12. Szárnyashús 38  4. Kenőmájas 224  13. Füstölt karaj 36  5. Tepertő 155  14. Vaj 230  6. Téliszalámi 150  15. Ementáli sajt 135  7. Császárhús 140  16. Krémsajt 83  8. Tarja 95  17. Anyatej 20  9. Marhahús 75  18. Tehéntej 10  

a) A táblázatban szereplő élelmiszerek közül hármat hány különböző módon lehet kiválasztani?
b) Ha a táblázatban szereplő velő, sertésmáj, marhamáj, tepertő és császárhús koleszterintartalmának összehasonlítására oszlopdiagramot készítenének, akkor hány különböző sorrendben szerepeltethetnék a kiválasztott élelmiszereket?
c) Ha a táblázatban szereplő 18 élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege nem éri el a 70-et?
d) Ha a táblázatban szereplő 18 élelmiszer nevét egyforma cédulákra felírják, majd véletlenszerűen kiválasztanak közülük hármat, akkor mekkora az esélye annak, hogy a melléjük írt számok összege kisebb, mint 3000?  
(14 pont)

 
Megoldás. a) A táblázat 18 élelmiszere közül 3-at (183)=181716123=816 különböző módon lehet kiválasztani.
b) Az öt élelmiszert 54321=120 különböző sorrendben lehet felsorolni, ennyi különböző sorrend szerepelhetne az oszlopdiagramokon.
c) Csak azokkal az élelmiszerekkel kell foglalkoznunk, amelyek koleszterin tartalma 70 alatti. Ilyen hat darab van a táblázatban (sovány sertéshús 68, gépsonka 45, szárnyashús 38, füstölt karaj 36, anyatej 20, tehéntej 10). Két esetben lehetséges, hogy a kiválasztott három élelmiszer koleszterintartalmának összege nem éri el a 70-et: 38+20+10, illetve 36+20+10. Az összes esetek száma: (183), azaz 816. A véletlen kiválasztás esetén bármely három élelmiszer kiválasztásának valószínűségét egyenlőnek tekintjük, ezért alkalmazzuk a klasszikus valószínűség-számítási modellt. A keresett valószínűség meghatározásához vesszük a kedvező esetek és az összes esetek számának hányadosát: 2816=1408.
d) A táblázatban egyetlen 3000-es érték szerepel és minden további szám 1000 alatti, ezért ha a kiválasztott három cédula egyikén sem szerepel a velő, akkor a három szám összege 3000-nél kisebb. Emiatt a kedvező esetek száma: (173)=171615123=680, az összes esetek száma (183), azaz 816. A keresett valószínűség: 680816=56.
 
4. A 12cm élhosszúságú kocka alakú edényt a 23 részéig megtöltötték folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentették egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévő folyadék vízszintjével.
 
 

Tudjuk, hogy a P pont felezi az AB szakaszt. Milyen magasan van a folyadék a C csúcshoz képest?  
(14 pont)

 
Megoldás. Az ábrát kiegészítettük.
 
 

Megállapítható a következő szakaszok hossza: PR=4 cm, RQ=12 cm, QC=10 cm. PQRQCT, mert mindkettő derékszögű, továbbá a C-nél és a Q-nál lévő hegyesszögük egyenlő (merőleges szárú szögek). Mivel PR:RQ=4:12=1:3, ezért QT:TC=1:3, azaz QT=TC3. A QTC derékszögű háromszögre felírható a Pitagorasz-tétel: (TC3)2+TC2=100, amiből TC=3109,5.
Vagyis 9,5 cm magasan van a folyadék szintje a C csúcshoz képest.
 

II. rész
 

 
5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számpárok halmazán:
(12+sinx)2+(y2+cosx)2=0.(16 pont)

 
Megoldás. Két nem negatív szám összege akkor lehet 0, ha mindkettő 0. Ezért sinx=-12, azaz x1=-π6+2k1π (k1Z), x2=7π6+2k2π (k2Z), továbbá y2+cosx=0. Az x1 esetén cosx>0, így y2+cosx=0 nem teljesülhet semmilyen valós y értékre sem. Az x2 esetén cosx=-32, vagyis y2=32, amiből
y1=320,93,y2=-32-0,93.

A megoldás: x=7π6+2kπ (kZ), y=32 vagy y=-32.
 
6. Az f(x) egy másodfokú függvény, a g(x) pedig fordított arányosság. Tudjuk, hogy f(1)=g(1)=6, f(2)=g(2)=3, f(3)=g(3)=2.
a) Van-e további x, amelyre f(x)=g(x)?
b) Határozzuk meg a g(12) értékét.
c) Határozzuk meg az f(15) értékét.
d) Található-e olyan x valós szám, amelyre f(x) értéke egyenlő g(x) reciprokával?  
(16 pont)

 
Megoldás. Legyen f(x)=ax2+bx+c hozzárendelésű másodfokú függvény. Tudjuk, hogy f(1)=a+b+c=6, f(2)=4a+2b+c=3, f(3)=9a+3b+c=2. Az így kapott egyenletrendszer megoldása: a=1, b=-6, c=11, azaz f(x)=x2-6x+11.
Legyen g(x)=dx hozzárendelésű fordított arányosság. Tudjuk, hogy g(1)=d1=6, azaz g(x)=6x, és ekkor a másik két feltétel is teljesül.
a) Keressük az összes valós x értéket, amelyre f(x)=g(x), vagyis keressük az x2-6x+11=6x egyenlet megoldását. x-szel szorozhatunk (x0), majd rendezünk: x3-6x2+11x-6=0. Ennek az egyenletnek az 1, 2 és a 3 gyökei, de egy harmadfokú egyenletnek 3-nál több valós gyöke nincs, így további megfelelő x nem létezik.
b) g(12)=612=12.
c) f(15)=152-615+11=146.
d) Keressük az f(x)=1g(x), azaz x2-6x+11=x6 egyenlet megoldását. A szorzás és a rendezés után: 6x2-37x+66=0. Az egyenlet diszkriminánsa negatív, így nincs olyan valós szám, amelyre f(x) értéke egyenlő lenne g(x) reciprokával.
 
7. Legyen N=923n+6434n.
a) Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan n természetes szám, amelyre N az 5-nek páratlan számú többszöröse.
b) Bizonyítsuk be, hogy N minden n természetes szám esetén osztható 73-mal.  
(16 pont)

 
Megoldás. a) Ha n=0, akkor N=73, egyébként az N két páros szám összege, tehát páros, így nem lehet egyenlő az 5 páratlan többszörösével.
b) N=923n+6434n=6481n+98n=64(81n-8n)+738n. Mivel a 81n-8n különbség (81-8)(81n-1+81n-28+...+818n-2+8n-1) alakban írható, így látható, hogy 64(81n-8n) és 738n is osztható 73-mal, ami a bizonyítandó állítást jelenti.
 
8. Az f(x)=sinx és g(x)=cosx hozzárendeléssel megadott függvények a [0;2π] intervallumon értelmezettek.
a) Írjuk fel f(x) görbéjéhez az x-2y=0 egyenletű egyenessel párhuzamos érintő egyenletét.
b) Mekkora területű az f(x) és a g(x) görbéje által határolt síkidom?  
(16 pont)

 
Megoldás. a) Az x-2y=0 egyenletű egyenes normálvektora: n(1;-2), meredeksége 12.
Az f(x) függvény görbéjéhez az x helyen húzott érintő meredeksége: f'(x)=(sinx)'=cosx. Vagyis a cosx=12 egyenlet megoldását kell megadnunk a [0;2π]-n. Két megfelelő értéket kapunk x-re:
I. eset: x1=π3, ekkor f(x1)=sinπ3=32, azaz az érintő illeszkedik a (π3;32) koordinátájú pontra. Ekkor az érintő egyenlete: x-2y=π3-3.
II. eset: x2=5π3, ekkor f(x2)=sin(5π3)=-32, azaz az érintő illeszkedik az (5π3;-32) koordinátájú pontra. Ekkor az érintő egyenlete: x-2y=5π3+3.
b) A [0;2π]-n az f(x)=sinx és a g(x)=cosx görbéje x=π4-nél és x=5π4-nél metszi egymást, a zárt síkidomot a (π4;22) és (5π4;-22) koordinátájú pontok közötti két görbe határolja. A [π4;5π4]-n az f(x) van felül, és a síkidom egy része az x tengely alatt található. Tudjuk, hogy a síkidom területe ebben az esetben is a következő határozott integrállal egyenlő:
T=π45π4(sinx-cosx)dx.
Ezt Newton‐Leibniz tétele segítségével számíthatjuk ki:
T=[-cosx-sinx]π45π4=-cos(5π4)-sin(5π4)+cosπ4+sinπ4=422=22
(területegység).
 
9. Az origó középpontú 5 egység sugarú körvonalra illeszkedő 12 rácspont (olyan pont, amelyek mindkét koordinátája egész szám) meghatároz egy tizenkétszöget.
a) Mutassuk meg, hogy ennek a tizenkétszögnek nincs beírt köre.
b) Számítsuk ki a tizenkétszög területét.
c) Egy 6cm magas csonkagúla alakú margarinos dobozt terveznek a feladatban szereplő tizenkétszöghöz hasonló és 74cm2 területű fedőlappal. Mekkora alapterületű lesz a doboz, ha 4 deciliteresre tervezik?  
(16 pont)

 
Megoldás. a) A tizenkétszög három szomszédos csúcsa: A(5;0), B(4;3), C(3;4). Ha lenne beírt köre a tizenkétszögnek, akkor egy origó középpontú körnek érintenie kellene az AB=10 és a BC=2 hosszúságú oldalakat is. A sokszög ugyanis középpontosan szimmetrikus az origóra, így ha van beírt kör, annak középpontja az origó.
 
 

Az OAB egyenlő szárú háromszögben az O-ból húzható OT1 magasság hosszát Pitagorasz-tétellel kiszámíthatjuk:
OT1=52-(102)2=3210(egység).
Az OBC egyenlő szárú háromszögben az O-ból húzható OT2 magasság hosszát is Pitagorasz-tétellel kiszámíthatjuk:
OT2=52-(22)2=722(egység).
Mivel OT1OT2, így láthatóan nincs beírt köre a tizenkétszögnek.
b) A feladatban szereplő tizenkétszög 8 db OAB háromszöggel egybevágó, és 4 db OBC háromszöggel egybevágó háromszögből rakható össze. Ezen egyenlő szárú háromszögek alapjainak és alapjaihoz tartozó magasságainak meghatározása után kiszámítjuk a területüket:
tOAB=1032102=152,tOBC=27222=72.
Az előzőek alapján a tizenkétszög területe:
T=8tOAB+4tOBC=8152+472=74(területegység).

c) A doboz térfogata 400 cm3. Alkalmazzuk a csonkagúla térfogatképletét: V=m3(T+Tt+t). Amit tudunk, azt helyettesítsük be: 400=63(74+74t+t). Ekkor a t-re másodfokú, t+74t-126=0 egyenletet kapjuk. Az egyenlet pozitív gyökéből számítható az alaplap területe: t59,6cm2.