Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Szászné Simon Judit
Füzet:	2004/október, 396 - 397. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg azon négyzet csúcspontjainak a koordinátáit, amelynek három csúcsa illeszkedik az $x^2-6x-5y+4=0$ egyenletű parabolára, és átlói párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel. $a)$ Mekkora a négyzetbe írt kör területe? $b)$ Hány rácspontja van a zárt körlapnak?  (11 pont)   2. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-x^2-x^4=4^{\text{sin}{}^{2}x}\mathrm{.}}\end{array}$ (12 pont)   3. Az alábbi táblázat a fogyasztói árindex alakulását mutatja néhány országban 1995‐1999 között: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Ország</span>}}}& \multicolumn{5}{c}{{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">változás az előző évhez képest, \%</span>}}}\\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">1995</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">1996</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">1997</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">1998</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">1999</span>}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Ausztria}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,6}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Franciaország}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,6}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Lengyelország}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{27,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{19,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{14,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7,3}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Magyarország</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">28,2</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">23,6</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">18,3</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">14,3</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">10</span>}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Nagy-Britannia}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,6}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Németország}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,6}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ $a)$ Értelmezzük, mit jelent Ausztriánál az utolsó két oszlopban található 1 és 0,6 szám. $b)$ Ha valaki 1994-ben 34 000 forintot az ágynemű közé rejtett, hány forintnak felel meg a vásárlóereje 1999-ben? $c)$ Nagymami 200 000 forintot akar diplomaajándékként az unokájának adni 1999-ben, amikor végez. Mennyi pénzt tett a sikeres felvételi vizsga hírére 1994-ben abba a bankba, amelyik ‐ mint utóbb kiderült ‐ pontosan a fogyasztói árindexszel megegyező kamatot adott 1994 és 1999 között?  (14 pont)   4. Az $ABC$ szabályos háromszög alapú, $D$ csúcsú gúla alapélei $\text{18 cm}$, oldalélei $6\sqrt[]{6}\text{cm}$ hosszúak. Fektessünk az $AD$ éllel párhuzamos síkot az $AB$ és $AC$ élek felezőpontjain át. $a)$ Számítsuk ki a síkmetszet területét. $b)$ Mekkora szöget zár be a metsző sík az alapsíkkal?  (14 pont)   II. rész   5. Egy $16$ fős csoportban a kémia átlag $3\mathrm{,}81$ volt (két tizedesre kerekítve). Tudjuk, hogy senki sem bukott meg. $a)$ Legfeljebb hányan kaphattak kettest? $b)$ Biztos-e, hogy volt valakinek ötöse? $c)$ Hányféleképpen lehetett pontosan $11$ darab négyes? $d)$ Igaz-e, hogy ha a módusz $4$, akkor a medián is $4$?  (16 pont)   6. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara, körül írt körének sugara és a kerülete egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a két hegyesszög tangensének összege $4$.  (16 pont)   7. Egy víztorony $\left(P\right)$ távolságát kell az $1:250000$ arányú térkép segítségével az $A$ falutól meghatározni. Ehhez két falu $(B$ és $C)$ $A$-tól való távolságát ismerjük a térképen: $AB=17\mathrm{,}2\text{cm}$, $AC=20\mathrm{,}0\text{cm}$. Lemértük továbbá, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle APB\sphericalangle ={83}^{\circ }\mathrm{,}APC\sphericalangle ={130}^{\circ }\text{és}BAC\sphericalangle ={65}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Mekkora az $AP$ távolság a valóságban? (16 pont)   8. Határozzuk meg azt a harmadfokú függvényt, amelyik a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $a)$ Belülről érinti az $x^2+y=4$ görbét az $x=0$ pontban. $b)$ A két görbe metszi egymást az $x=2$ pontban. $c)$ A két görbe közé zárt terület a $\left[0;2\right]$ intervallumban $\frac{4}{3}$. Írjuk le a harmadfokú függvény menetét.  (16 pont)   9. Egy $9$ tagú társaság felszáll a három kocsiból álló HÉV szerelvényre, de a nagy tolongásban a társaság minden tagja csak azt nézi, hogy feljusson valamelyik kocsira, nem törődik azzal, hogy a társai melyik kocsiba szálltak. $a)$ Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom kocsiba a társaság $3$‐$3$ tagja szállt? $b)$ Mennyi a valószínűsége, hogy a három kocsi közül legalább az egyikbe nem szállt fel senki a társaság tagjai közül? $c)$ Mennyi a valószínűsége, hogy a három kocsi közül legalább az egyikbe legfeljebb egy ember szállt fel a társaságból?  (16 pont)