Kezdőlap


Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2004/február, 78. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Tekintsük azokat a forgáshengereket, amelyekben az alapkör sugarának és a henger magasságának az összege $10 cm$ . E forgáshengerek közül melyiknek a palástfelszíne a legnagyobb? Mennyi ez esetben a henger térfogata?

2. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert, ahol

a

valós paraméter:

\begin{matrix} {\begin{matrix} (a - 1) x + 3 y & = 3 a, \\ x + (a + 1) y & = 2. \end{matrix} \end{matrix}

3. Egy húrtrapéz területe

144 \sqrt[]{3} cm^{2}

, a szárak hossza megegyezik a trapéz köré írt kör sugarával. Számítsuk ki a trapéz magasságát, átlóját és középvonalának hosszát. Kiszámítható-e a trapéz párhuzamos oldalainak hossza?

4. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán:

\begin{matrix} \sqrt[]{4 \cdot 2^{2 x} - 12 \cdot 2^{x} + 9} & = 3 - 2^{x + 1}; & (*) \\ \sqrt[]{2 cos 2 x - 4 cos x + 3} & = 1 - 2 cos x . & (*) \end{matrix}

S_{n}

S_{k}

S_{n + k}

egy számtani sorozat első

n

k

, illetve

n + k

tagjának az összege. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} (n + k) (S_{n} - S_{k}) = (n - k) \cdot S_{n + k} . \end{matrix}

6. Tekintsük a

[- 4; 4]

intervallumon értelmezett

x \mapsto f (x)

függvényt, ahol

\begin{matrix} f (x) = \frac{| x - 3 | + | x + 1 |}{| x + 3 | + | x - 1 |} . \end{matrix}

Számítsuk ki a függvény maximumát és minimumát, valamint azokat az

x

értékeket, ahol ezeket felveszi a függvény.

7. Igazoljuk, hogy ha

α

β

egy háromszög két szöge és

\begin{matrix} sin (α - β) = sin^{2} α - sin^{2} β, \end{matrix}

akkor a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú.

8. Tapasztaljuk, hogy

\begin{matrix} 44 - 8 = 6^{2}, 4444 - 88 = 66^{2}, 444 444 - 888 = 666^{2} . \end{matrix}

Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} {\underset{︸}{44 ... 4}}_{2 n jegyű}^{} - {\underset{︸}{88 ... 8}}_{n jegyű}^{} = {\underset{︸}{66 ... 6}}_{n jegyű}^{}^{2} . \end{matrix}