Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2004/január, 17. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Szüleim és bátyám emlékére   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle a)}& {\displaystyle \left(2y-1\right)\left(y-1\right)=0;}\hfill & \hfill {\displaystyle b)}& {\displaystyle 2^{2x+1}-3\cdot 2^x+1=0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)}& {\displaystyle 2\text{sin}{}^{2}x-3\text{sin}x+1=0;}\hfill & \hfill {\displaystyle d)}& {\displaystyle 2\cdot \text{log}{}_2^{2}x-\text{log}{}_2{x}^3+1=0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle a)}& {\displaystyle 2y^2-3y+1>0;}\hfill & \hfill {\displaystyle b)}& {\displaystyle 2^{2x+1}-3\cdot 2^x+1>0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)}& {\displaystyle 2\text{sin}{}^{2}x-3\text{sin}x+1<0;}\hfill & \hfill {\displaystyle d)}& {\displaystyle 2\cdot \text{log}{}_2^{2}x-\text{log}{}_2{x}^3+1>0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   3. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög egyik befogójának végpontjai: $A\left(-2;3\right)$ és $B\left(1;2\right)$. Számítsuk ki a háromszög harmadik csúcspontjának koordinátáit.   4. Számítsuk ki $p$ és $q$ értékét, ha az $x^2+px+q=0$ egyenlet egyik gyöke 2, a másik gyöke pedig az egyenlet diszkriminánsának háromszorosa.   5. Az $ABC$ háromszögben $AC=10$, $BC=15$ és $ACB\sphericalangle ={60}^{\circ }$. $a)$ Mekkora annak a félkörnek a sugara, amelynek átmérője az $AB$ oldalra esik, és érinti a másik két oldalt? $b)$ Mekkora annak a körnek a sugara, amely érinti az előbbi félkört, valamint az $AC$ és $BC$ oldalakat?   6. Egy számtani sorozat differenciája $\frac{2}{3}$, az első $n$ tag összege $\frac{8}{3}$, az első $\left(n+3\right)$ tag összege $\frac{44}{3}$. Számítsuk ki $n$ értékét és a sorozat első tagját.   7. Tekintsük az $f:\text{R}\to \text{R}$, $x\mapsto f\left(x\right)=\frac{{\left(x+5\right)}^2-{\left(x-5\right)}^2}{{\left(2x+5\right)}^2+{\left(2x-5\right)}^2}$ függvényt. Számítsuk ki a függvény legnagyobb és legkisebb értékét, valamint azokat az $x$ értékeket, ahol ezeket a függvény felveszi.   8. Az $ABCD$ konvex négyszög $AC$ és $BD$ átlóinak metszéspontja $K$. Az $ABK$, $BCK$, $CDK$ és a $DAK$ háromszögek területe rendre $t_1$, $t_2$, $t_3$ és $t_4$. Igazoljuk, hogy a négyszög $AB$ és $DC$ oldalai pontosan akkor (akkor és csak akkor) párhuzamosak, ha a négyszög $T$ területe $\begin{array}{c}{\displaystyle T={\left(\sqrt[]{t_1}+\sqrt[]{t_3}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$