Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor 2003/7
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2003/október, 403. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Scharnitzky Viktor matematikus, főiskolai tanár emlékére   Rábai Imre   1. Oldjuk meg a rendezett valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszereket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccccc}{\displaystyle a)}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(x+1\right)y}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill & {\displaystyle b)}\hfill & \hfill {\displaystyle x^2+xy}& {\displaystyle =\mathrm{2,}}\hfill \\ {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \left(x^2-1\right)\left(y+1\right)}& {\displaystyle =0;}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle y^2-2xy}& {\displaystyle =5.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Legyen $f:\text{R}\to \text{R}$, $f\left(x\right)=2x^2-2x+4$. Igazoljuk az $f\left(k+2\right)=f\left(k\right)+8k+4$ azonosságot.   3. Határozzuk meg az $a$ paraméter értékét úgy, hogy a következő egyenletek egyik gyöke a másik gyökük kétszerese legyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}{\displaystyle 1)}\hfill & {\displaystyle x^2+3ax+2a^2=0;}\hfill & {\displaystyle 2)}\hfill & {\displaystyle x^2-3ax+2a^2-1=0;}\hfill \\ {\displaystyle 3)}\hfill & {\displaystyle x^2-3\left(a+1\right)x+2a^2+6a=0;}\hfill & {\displaystyle 4)}\hfill & {\displaystyle x^2+ax-2a-4=0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   4. A koordináta-rendszerben adott két párhuzamos egyenes, $e$ és $f$, valamint köztük a $k$ kör. A $k$ kört az $e$ egyenesre tükrözve az $x^2+y^2-4x-12y+39=0$ egyenletű $k_1$ kört, az $f$ egyenesre tükrözve pedig az $x^2+y^2-16x+12y+99=0$ egyenletű $k_2$ kört kapjuk. Határozzuk meg azt a pontot, amelyre $k_1$ és $k_2$ középpontosan szimmetrikus, illetve annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre a $k_1$ és $k_2$ tengelyesen szimmetrikus. Számítsuk ki az $e$ és $f$ egyenesek távolságát.   5. Egy négyoldalú gúla alaplapja az $ABCD$ rombusz. A gúla $E$ csúcsának az alapsíkra eső merőleges vetülete a rombusz átlóinak $F$ metszéspontja. Számítsuk ki a gúla térfogatát és felszínét, ha a rombusz átlói $AC=10\text{cm}$, $BD=18\text{cm}$ és a gúla magassága $EF=12\text{cm}$.   6. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle a)\frac{\text{log}{}_{3}x}{\left(\text{log}{}_{\frac{1}{3}}x+3\right)\left(\text{log}{}_{\frac{1}{3}}x-1\right)}<0;b)\frac{\text{log}{}_{\frac{1}{3}}^{2}x+2\text{log}{}_{\frac{1}{3}}x-3}{\text{log}{}_{3}x}\ge 0.}\end{array}$   7. $a)$ Igazoljuk, hogy az $\left(a_n\right)$ sorozat pontosan akkor számtani sorozat, ha minden $1$-nél nagyobb természetes számra $a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}$. $b)$ Adott a $d$ differenciájú $\left(a_n\right)$ számtani sorozat. A sorozathoz találhatók olyan $p$ és $q$ valós számok, hogy minden $1$-nél nagyobb $n$ természetes szám esetén $a_{n+1}=2p{a}_n-q{a}_{n-1}$. Határozzuk meg $p$ és $q$ lehetséges értékeit, ha $\left(a_n\right)$ $\left(i\right)$ nem állandó sorozat; $\left(ii\right)$ olyan állandó sorozat, amelyben $a_1\ne 0$; $\left(iii\right)$ olyan állandó sorozat, amelyben $a_1=0$.   8. Egy kör kerületének $P$ pontjából megrajzoltuk a $PA=12\text{cm}$ és $PB=16\text{cm}$ hosszúságú húrokat. A $PA$ húr $F$ felezőpontjának a $PB$ egyenestől való távolsága $2\sqrt[]{3}$. Számítsuk ki a kör sugarát.