Cím: Felvételi előkészítő feladatsor 2003/7
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2003/október, 403. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Scharnitzky Viktor matematikus, főiskolai tanár emlékére
 
Rábai Imre
 

1. Oldjuk meg a rendezett valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszereket:
a)(x+1)y=0,b)x2+xy=2,(x2-1)(y+1)=0;y2-2xy=5.

 
2. Legyen f:RR, f(x)=2x2-2x+4. Igazoljuk az f(k+2)=f(k)+8k+4 azonosságot.
 
3. Határozzuk meg az a paraméter értékét úgy, hogy a következő egyenletek egyik gyöke a másik gyökük kétszerese legyen:
1)x2+3ax+2a2=0;2)x2-3ax+2a2-1=0;3)x2-3(a+1)x+2a2+6a=0;4)x2+ax-2a-4=0.

 
4. A koordináta-rendszerben adott két párhuzamos egyenes, e és f, valamint köztük a k kör. A k kört az e egyenesre tükrözve az x2+y2-4x-12y+39=0 egyenletű k1 kört, az f egyenesre tükrözve pedig az x2+y2-16x+12y+99=0 egyenletű k2 kört kapjuk. Határozzuk meg azt a pontot, amelyre k1 és k2 középpontosan szimmetrikus, illetve annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre a k1 és k2 tengelyesen szimmetrikus. Számítsuk ki az e és f egyenesek távolságát.
 
5. Egy négyoldalú gúla alaplapja az ABCD rombusz. A gúla E csúcsának az alapsíkra eső merőleges vetülete a rombusz átlóinak F metszéspontja. Számítsuk ki a gúla térfogatát és felszínét, ha a rombusz átlói AC=10cm, BD=18cm és a gúla magassága EF=12cm.
 
6. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán:
a)log3x(log13x+3)(log13x-1)<0;b)log132x+2log13x-3log3x0.

 
7. a) Igazoljuk, hogy az (an) sorozat pontosan akkor számtani sorozat, ha minden 1-nél nagyobb természetes számra an+1=2an-an-1.
b) Adott a d differenciájú (an) számtani sorozat. A sorozathoz találhatók olyan p és q valós számok, hogy minden 1-nél nagyobb n természetes szám esetén an+1=2pan-qan-1. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit, ha (an) (i) nem állandó sorozat; (ii) olyan állandó sorozat, amelyben a10; (iii) olyan állandó sorozat, amelyben a1=0.
 
8. Egy kör kerületének P pontjából megrajzoltuk a PA=12cm és PB=16cm hosszúságú húrokat. A PA húr F felezőpontjának a PB egyenestől való távolsága 23. Számítsuk ki a kör sugarát.