Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2003/szeptember, 336. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kőváry Károly igazgató matematikatanár, volt kollégám emlékére     1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle a)}& {\displaystyle \sqrt[]{5x-6}=2+\sqrt[]{x-2}}\hfill & \hfill {\displaystyle b)}& {\displaystyle \sqrt[]{5x-5}=2+\sqrt[]{x-2};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)}& {\displaystyle \sqrt[]{5x-4}=2+\sqrt[]{x-2};}\hfill & \hfill {\displaystyle d)}& {\displaystyle \sqrt[]{5x-14}=2+\sqrt[]{x-2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. A konvex $ABCD$ négyszög átlói merőlegesek egymásra, a $BD$ átló felezi az $AC$ átlót. Az $ABC\sphericalangle ={120}^{\circ }$, $AC=4\sqrt[]{3}$, $BD=8$. Számítsuk ki a négyszög területét, oldalait és szögeit.   3. Igazoljuk, hogy ha $-1<a<0$ vagy $0<a<1$, akkor $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{1-a^2}\ge 4$.   4. Az $x^2+y^2=9$ és az ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-8\right)}^2=1$ egyenletű körök középpontját összekötő szakasz mely pontjából húzható közös érintő a két körhöz? Írjuk fel az érintőegyenesek egyenletét.   5. Határozzuk meg $\frac{y}{x}$ értékét, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle a)\text{lg}{}^{2}y+\text{lg}{}^{2}x-2\text{lg}y\cdot \text{lg}x-\text{lg}y+\text{lg}x=2;b)\text{cos}\frac{y+2x}{2x}=\text{cos}\frac{y-2x}{2x}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Határozzuk meg azoknak a rendezett $\left(x;y\right)$ számpároknak a halmazát, amelyek kielégítik a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-4x+4}+\sqrt[]{y^2-6y+9}=\mathrm{1,}|x-2|+y=4.}\end{array}$   7. Egy szabályos háromszög csúcspontjain át egymással párhuzamos egyeneseket húzunk, közülük a középsőnek a két szélsőtől való távolsága $1$, illetve $4$. Számítsuk ki a szabályos háromszög oldalait.   8. $a)$ Igazoljuk az $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ egyenlőtlenséget, ahol $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\in \text{R}$. $b)$ Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\left(x+a\right)\left(x+b\right)+\left(x+b\right)\left(x+c\right)+\left(x+c\right)\left(x+a\right)}\end{array}$ hozzárendelési szabállyal megadott függvénynek $a$, $b$ és $c$ bármely valós értéke esetén van zérushelye. $c)$ Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(x\right)=b^2{x}^2+\left(b^2+c^2-a^2\right)x+c^2}\end{array}$ hozzárendelési szabállyal megadott függvénynek nincs zérushelye, ha $a$, $b$ és $c$ egy háromszög három oldala.