Cím:	Felvételire előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2003/április, 211. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Rábai Imre     1. Az $\left(a_n\right)$ sorozatban minden $n$ pozitív egész számra $a_n=2a_{n+1}-a_{n+2}$ és $a_2+a_6=8$. Határozzuk meg a sorozat első $7$ tagjának az összegét.   2. A $4$ egység sugarú $k_1$ és $k_2$ körök a $D$ pontban érintik egymást. A körök közös átmérőegyenese a $k_1$ kört a $D$ és az $A$ pontban metszi. A $D$ pontra illeszkedő, $AD$-vel ${60}^{\circ }$-os szöget bezáró egyik szelő a $k_1$ kört a $C$, a $k_2$ kört a $B$ pontban metszi ($C\ne D$, $B\ne D$). Határozzuk meg az $ABC$ háromszög területét.   3. Oldjuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+2y+2\sqrt[]{x+2y}}& {\displaystyle =\mathrm{15,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{2y-4x}-1}& {\displaystyle =\frac{2}{\sqrt[]{2y-4x}}}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ egyenletrendszert, amelyben $x$ és $y$ valós számokat jelölnek.   4. Az $ABC$ háromszögben $BAC\sphericalangle ={60}^{\circ }$. Az $A$ csúcsponton átmenő szögfelező egyenes a $BC$ oldalt olyan $D$ pontban metszi, amelyre $\frac{BD}{CD}=\frac{1}{4}$. Számítsuk ki a háromszög másik két szögét.   5. Azon $200\text{cm}$ kerületű húrtrapézok közül, amelyeknek két szöge ${45}^{\circ }$-os, melyiknek maximális a területe? Mekkora ez a terület?   6. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a)\text{log}{}_{|x-1|}\left(x+6\right)+\text{log}{}_{\frac{1}{|x-1|}}x}& {\displaystyle <0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b)\text{log}{}_{|x-1|}\left(x+6\right)+\text{log}{}_{\frac{1}{|x-1|}}x}& {\displaystyle \ge 0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   7. Egy négyzet alapú egyenes hasáb alapéle $a$, oldaléle $b$ egység hosszú, ahol $a$ és $b$ pozitív egész számok. A hasáb felületét befestjük, majd a hasábot egységnyi élhosszúságú kockákra vágjuk. Az így kapott kockák között $112\text{db}$ olyan van, amelyeknek pontosan egy oldallapja festett. Határozzuk meg az eredeti hasáb felszínét és térfogatát!   8. A $k$ valós paraméter mely értékei esetén lesz az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4-\left(k+3\right)x^2+3k=0}\end{array}$ egyenlet négy különböző valós gyöke egy számtani sorozat négy egymást követő tagja?