Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2003/január, 22. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Szendrei János matematikus, főiskolai tanár tiszteletére   1. Egy derékszögű háromszögben a befogók összege $10\mathrm{,}5$ egység, a beírható kör sugara $\varrho =1\mathrm{,}5$ egység. Számítsuk ki a derékszögű háromszög $a)$ körülírt körének sugarát; $b)$ területét; $c)$ a hozzáírható körök sugarát.   2. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a)\sqrt[3]{x+\frac{x}{x^3-1}}=x\cdot \sqrt[3]{\frac{x}{x^3-1}};b)\frac{\text{log}{}_x\frac{9}{4}}{\text{log}{}_x\frac{27}{8}}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{27}{8}};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)\text{tg}\left(x+\pi \right)+\text{ctg}\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=2\text{tg}x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán, ahol $a$ valós paraméter: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x-y=1-a-a^2;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_x\left(2x^2+4x-y+1\right)=2.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   4. Az $ABCD$ húrtrapéz $\left(AB\parallel DC\right)$ rövidebb párhuzamos oldalának hossza, $DC=13$ egység, magassága, $m=C{C}_1=15\mathrm{,}6$ egység ($C_1$ a $C$ pont merőleges vetülete az $AB$ oldalon), az $AC$ átló merőleges a $BC$ oldalra. Számítsuk ki a hosszabb párhuzamos oldal $\left(AB\right)$, a szárak $\left(BC\right)$ és az átlók $\left(AC\right)$ hosszát.   5. Az $y=x^2+x+1$ egyenletű parabola melyik pontja van a legközelebb az $y=2x-2$ egyenletű egyeneshez? Mennyi ez a legkisebb távolság?   6. Az $ABC$ háromszögben $AC=8$, $BC=24$, a $C$ csúcsból induló belső szögfelezőszakasz, $C{C}_1=6\sqrt[]{2-\sqrt[]{2}}$ egység. Számítsuk ki az $ACB$ szöget, a háromszög területét és az $AB$ oldal hosszát.   7. Tekintsük az $x\mapsto \frac{x}{x^2+x+1}$, $x\in \text{R}$ függvényt. Határozzuk meg a függvény értékkészletét. Mely $x$ helyen veszi fel a függvény a legkisebb, illetve a legnagyobb értékét?   8. Legyen az $\left(a_n\right)$ számtani sorozat $n$. tagja $a_n$, $k$. tagja $a_k$, az első $n$ tag összege $S_n$, az első $k$ tag összege $S_k$, valamint $a_1\ne 0$, $n\ne 1$, $k\ne 1$ és $n\ne k$. Igazoljuk, hogy $\frac{S_n}{S_k}=\frac{n^2}{k^2}$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\frac{a_n}{a_k}=\frac{2n-1}{2k-1}\mathrm{.}$