A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az háromszög oldalai , , egység hosszúak. Számítsuk ki a háromszög területét, valamint a beírható és körülírható körének sugarát!
Megoldás. A háromszög kerülete egység, így a Héron-képlettel a területe kiszámítható. Mivel a beírható kör sugara , a köré írható kör sugara , ezért , területegység, egység és egység.
2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet. | |
Megoldás. Az egyenletnek nincs értelme, ha vagy . A bal oldalon álló kifejezések azonos átalakítása után kapjuk: | | Az egyenletnek és 1 kivételével minden valós szám megoldása.
3. A számtani sorozat első tagja , különbsége ; a számtani sorozat első tagja , különbsége . A két sorozat közös tagjai az sorozatot határozzák meg. Fejezzük ki -mel az sorozat első tagjának az összegét!
Megoldás. A sorozat -edik tagja , a sorozat -adik tagja . A közös tagokra , , azaz , ahol és pozitív egész számok, tehát és így . A közös tagok: (), ahol pozitív egész szám. Az sorozat első tagja , így az első tag összege .
4. Egy háromszög két oldalának hossza és egység, és tudjuk, hogy a háromszög területe . Fejezzük ki -vel és -vel a háromszög oldalának hosszát!
Megoldás. Figyelembe véve, hogy és , kapjuk, hogy | | tehát . Alkalmazhatjuk az (, ) azonosságot, tehát . , egység.
5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert!
Megoldás. Az egyenletrendszer akkor értelmezett, ha , és . Azonosságok és függvénytulajdonságok alkalmazásával | | Az első egyenletből vagy . Helyettesítő módszerrel vagy . A második egyenletnek nincs valós megoldása; az első egyenletből és ekkor és ez a számpár valóban megoldás, míg ha , akkor nem adódik megoldás.
6. Oldjuk meg a egyenletet a valós számok halmazán!
Megoldás. Azonosságok alkalmazásával | | ahonnan vagy . A megoldások: , , , , .
7. Az egyenletű egyenes az tengelyt az , az tengelyt a pontban metszi. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a egyenletű egyenesre, metszi az szakaszt a , az szakaszt a pontban, és amelyre az négyszög területe területegység, ahol az origó!
Megoldás. A egyenletű egyenesre merőleges egyenesek egyenlete alakban írható, így . A pont abszcisszája -vel kifejezhető: , . mivel , , ezért az háromszög területe területegység, így a háromszög területe egyrészt területegység, másrészt -vel kifejezve területegység. Innen Mivel , ezért . A kérdéses egyenes egyenlete ().
8. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely számpárra , akkor . Mely számpárokra áll fenn az egyenlőség?
Megoldás. Vegyük figyelembe, hogy minden számpárra és . Így . Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha , azaz , tehát az , és az , számpárok esetén. |