Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a 2002/6. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2002/október, 402 - 404. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Az ABCD háromszög oldalai AB=20, BC=13, CA=11 egység hosszúak. Számítsuk ki a háromszög területét, valamint a beírható és körülírható körének sugarát!
 
Megoldás. A háromszög kerülete 2s=44 egység, így a Héron-képlettel a területe kiszámítható. Mivel a beírható kör sugara ϱ=Ts, a köré írható kör sugara r=abc4T, ezért T2=222119=(1123)2, T=66 területegység, ϱ=6622=3 egység és r=111322466=14312 egység.
 
2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet.
(x2+x+1+2x-1)(x2-x+1-2x+1)=x4+x2+1

 
Megoldás. Az egyenletnek nincs értelme, ha x=-1 vagy x=1. A bal oldalon álló kifejezések azonos átalakítása után kapjuk:
(x2+x+1+2x-1)(x2-x+1-2x+1)x3-1+2x-1x3+1-2x+1(x2-x+1)(x2+x+1)(x2+1)2-x2x4+x2+1.
Az egyenletnek -1 és 1 kivételével minden valós szám megoldása.
 
3. A (bn) számtani sorozat első tagja b1=3, különbsége d1=4; a (ck) számtani sorozat első tagja c1=2, különbsége d2=7. A két sorozat közös tagjai az (am) sorozatot határozzák meg. Fejezzük ki m-mel az (am) sorozat első m tagjának az összegét!
 
Megoldás. A (bn) sorozat n-edik tagja bn=3+(n-1)4=4n-1, a (ck) sorozat k-adik tagja ck=2+(k-1)7=7k-5. A közös tagokra bn=ck, 4n-1=7k-5, azaz 4n+4=7k, ahol n és k pozitív egész számok, tehát k=4m és így n=7m-1. A közös tagok: am=4(7m-1)-128m-5 (am=74m-528m-5), ahol m pozitív egész szám. Az (am) sorozat első tagja a1=23, így az első m tag összege Sm=m2(23+28m-5)14m2+9m.
 
4. Egy háromszög két oldalának hossza b és c egység, és tudjuk, hogy a háromszög területe T=a2-(b-c)2. Fejezzük ki b-vel és c-vel a háromszög a oldalának hosszát!
 
Megoldás. Figyelembe véve, hogy T=bcsinα2 és a2=b2+c2-2bccosα, kapjuk, hogy
bcsinα2=b2+c2-2bccosα-(b2+c2-2bc),sinα=4(1-cosα),2sinα2cosα2=42sin2α2,
tehát tgα2=14. Alkalmazhatjuk az 1-tg2α21+tg2α2cosα (απ+2kπ, kZ) azonosságot, tehát cosα=1517. a2=b2+c2-2bc1517, a=b2+c2-3017bc egység.
 
5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert!
31+2log3(y-x)=482log5(2y-x-12)=log5(y-x)+log5(y+x).

 
Megoldás. Az egyenletrendszer akkor értelmezett, ha y-x>0, y+x>0 és 2y-x>12.
Azonosságok és függvénytulajdonságok alkalmazásával
(y-x)2=16és(2y-x-12)2=y2-x2.
Az első egyenletből y=x+4 vagy y=x-4. Helyettesítő módszerrel x2-16x=0 vagy x2+16x+384=0. A második egyenletnek nincs valós megoldása; az első egyenletből x1=16 és ekkor y1=20 és ez a számpár valóban megoldás, míg ha x2=20, akkor nem adódik megoldás.
 
6. Oldjuk meg a
2sin2x=26sin(x-π4)+3
egyenletet a valós számok halmazán!
 
Megoldás. Azonosságok alkalmazásával
4sinxcosx=232(12sinx-12cosx)+3,4sinxcosx-23sinx+23cosx-3=0,(2sinx)(2cosx-3)+3(2cosx-3)=0,(2sinx+3)(2cosx-3)=0,
ahonnan sinx=-32 vagy cosx=32. A megoldások: x1,n=-π3+2nπ, x2,n=-2π3+2nπ, x3,n=π6+2nπ, x4,n=-π6+2nπ, nZ.
 
7. Az x+y=15 egyenletű egyenes az x tengelyt az A, az y tengelyt a B pontban metszi. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a 3x+y=2002 egyenletű egyenesre, metszi az OB szakaszt a C, az AB szakaszt a D pontban, és amelyre az OADC négyszög területe 58,5 területegység, ahol O az origó!
 
Megoldás. A 3x+y=2002 egyenletű egyenesre merőleges egyenesek egyenlete y=13x+b alakban írható, így C(0;b). A D pont abszcisszája b-vel kifejezhető: x+(13x+b)=15, x=34(15-b). mivel A(15;0), B(0;5), ezért az AOB háromszög területe T=1522=112,5 területegység, így a BCD háromszög területe egyrészt T1=112,5-58,5=54 területegység, másrészt b-vel kifejezve T1=12(15-b)34(15-b) területegység. Innen
38(15-b)2=54,b1=3,b2=27.
Mivel 0<b<15, ezért b=3. A kérdéses egyenes egyenlete y=13x+3 (x-3y=-9).
 
8. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely (x;y) számpárra x2+y2=18, akkor |x+y|6. Mely számpárokra áll fenn az egyenlőség?
 
Megoldás. Vegyük figyelembe, hogy minden (x,y)R2 számpárra 2xyx2+y2 és |a|a2. Így |x+y|x2+y2+2xy2(x2+y2)=6. Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x=y, azaz x2=9, tehát az x1=3, y1=3 és az x2=-3, y2=-3 számpárok esetén.