Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/szeptember, 333. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Gergő (Grünwald) Gézáné matematikus, egyetemi adjunktus tiszteletére   Rábai Imre   1. Az $ABCD$ háromszög oldalai $AB=20$, $BC=13$, $CA=11$ egység hosszúak. Számítsuk ki a háromszög területét, valamint a beírható és körülírható körének sugarát!   2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet. $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x^2+x+1+\frac{2}{x-1}\right)\left(x^2-x+1-\frac{2}{x+1}\right)=x^4+x^2+1}\end{array}$   3. A $\left(b_n\right)$ számtani sorozat első tagja $b_1=3$, különbsége $d_1=4$; a $\left(c_k\right)$ számtani sorozat első tagja $c_1=2$, különbsége $d_2=7$. A két sorozat közös tagjai az $\left(a_m\right)$ sorozatot határozzák meg. Fejezzük ki $m$-mel az $\left(a_m\right)$ sorozat első $m$ tagjának az összegét!   4. Egy háromszög két oldalának hossza $b$ és $c$ egység, és tudjuk, hogy a háromszög területe $T=a^2-{\left(b-c\right)}^2$. Fejezzük ki $b$-vel és $c$-vel a háromszög $a$ oldalának hosszát!   5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert! ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle 3^{1+2\text{log}{}_3\left(y-x\right)}}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 48}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2\text{log}{}_5\left(2y-x-12\right)}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \text{log}{}_5\left(y-x\right)+\text{log}{}_5\left(y+x\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   6. Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}2x=2\sqrt[]{6}\text{sin}\left(x-\frac{\pi }{4}\right)+3}\end{array}$ egyenletet a valós számok halmazán!   7. Az $x+y=15$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt az $A$, az $y$ tengelyt a $B$ pontban metszi. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a $3x+y=2002$ egyenletű egyenesre, metszi az $OB$ szakaszt a $C$, az $AB$ szakaszt a $D$ pontban, és amelyre az $OADC$ négyszög területe $58\mathrm{,}5$ területegység, ahol $O$ az origó!   8. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely $\left(x;y\right)$ számpárra $x^2+y^2=18$, akkor $|x+y|\le 6$. Mely számpárokra áll fenn az egyenlőség?