Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/december, 523. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ágoston György egyetemi tanár (pedagógia) tiszteletére   Rábai Imre   1. Az $\left(a_n\right)$ sorozat tagjai azok a pozitív egész számok, amelyek $8$-cal osztva $5$-öt adnak maradékul, a $\left(b_n\right)$ sorozat tagjai azok a pozitív egész számok, amelyek $6$-tal osztva $1$-et adnak maradékul. Jelöljük $S_n$-nel és $T_n$-nel az $\left(a_n\right)$, illetve $\left(b_n\right)$ sorozat első $n$ tagjának összegét. a)  Mekkora $n$, ha $\frac{S_n}{T_n}=\frac{25}{16}$? b)  Melyik az a legkisebb $n$, amelyre $S_n-T_n>1000$?   2. Az $A$, illetve a $B$ pont helyvektora $\overrightarrow{OA}=\text{a}$ és $\overrightarrow{OB}=\text{b}$. Az $OA$ szakasz $O$-hoz közelebbi harmadoló pontja $D$, az $AB$ szakasz $A$-hoz közelebbi harmadoló pontja $E$, a $BD$ és $OE$ egyenesek metszéspontja $P$. Fejezzük ki $\text{a}$-val és $\text{b}$-vel az $\overrightarrow{OP}$ és a $\overrightarrow{PD}$ vektorokat.   3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: a)  $\sqrt[]{1-4x+4x^2}+2x-1=0$; b)  $x^{\text{log}{}_{3}x}=\sqrt[9]{81}$; c)  $\text{sin}2x+7\text{cos}2x=1$.   4. Tekintsük azt a szabályos négyoldalú gúlát, amelynek minden éle egyenlő, és a beírható gömb sugara $\varrho =1$ egység. Számítsuk ki a gúla éleinek a hosszát.   5. Az $ABC$ háromszögben az $A$ csúcsnál levő szög a $B$ csúcsnál levő szög kétszerese, továbbá $6AB=5BC$, és a háromszög területének mérőszáma az $A$ csúcsnál levő szög szinuszának $62\mathrm{,}5$-szerese. Számítsuk ki a háromszög oldalait.   6. Írjuk fel annak a $P\left(-1;-1\right)$ ponton áthaladó körnek az egyenletét, amely érinti az $x+2y-6=0$ és a $2x-y+3=0$ egyenletű egyeneseket.   7. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán, ahol $a$ valós paraméter: a)  $\left(a+2\right)\cdot y+\frac{a}{y-2}=4a+6$; b)  $\left(a+2\right)\cdot 3^x+\frac{a}{3^x-2}=4a+6$.   8. Melyek azok a valós számokból álló számpárok, amelyek kielégítik az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\sqrt[]{\text{log}{}_{x}y}}=y^{\sqrt[]{\text{log}{}_{y}x}}}\end{array}$ kétismeretlenes egyenletet?