Cím: A faktoriális alsó- és felső becslései
Szerző(k):  Lóczi Lajos 
Füzet: 2002/április, 195 - 198. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A matematika számos ágában bukkan fel és tölt be fontos szerepet az n nemnegatív egész szám faktoriálisa, melyet pozitív egész n-ekre az

n!=123...n
összefüggés definiál, 0! értéke pedig megállapodás szerint 1. Cikkünk célja, hogy az n! kifejezést egyszerűbb, az analízis szempontjából könnyebben kezelhető mennyiségekkel becsüljük meg, illetve ismertessük a nagyságrendjére vonatkozó legfontosabb közelítéseket. A cikk további részében n mindvégig pozitív egész számot jelöl.
Kiindulásul tekintsük a Négyjegyű függvénytáblázatban is szereplő
n!(ne)n2πn
összefüggést, ahol szokás szerint e (2,71828) jelöli a természetes logaritmus alapszámát. A fenti képlet ‐ mely Stirling-formula néven ismert ‐ aszimptotikus becslést fejez ki, ami azt jelenti, hogy n! értéke ,,nagy" n-ekre ,,körülbelül" (ne)n2πn. Ezen azt értjük, hogy az
an=n!(ne)n2πn
képlettel definiált sorozat határértéke 1. Ahhoz, hogy képet kapjunk a formula viselkedéséről, érdemes néhány n-re megvizsgálni n! és (ne)n2πn egymáshoz viszonyított értékeit. (Az itt fellépő elképesztően nagy számokat szemlélteti a cikk végén szereplő 4. Megjegyzés.)
nn!(n/e)n2πnan110,92211,08444221,9191,04221365,8361,028061036288003598695,61,0083651009,33262101579,32484101571,000833610004,023871025674,023531025671,00008333100002,8462510356592,8462310356591,000008333

Konkrét n-ekre azonban a Stirling-formula semmit sem mond n! nagyságáról, ezért szeretnénk minden pozitív n-re érvényes alsó- és felső becsléseket nyerni.
Nemrégiben Pfeil Tamás az alábbi egyenlőtlenséget bizonyította be:
e2(ne)nn<n!<e2(ne)nn,
illetve ekvivalensen átírva
e2π<n!(ne)n2πn<eπ,azaz0,766<n!(ne)n2πn<1,533.
Bizonyításában az a szép, hogy teljesen elemi eszközöket használ ‐ csupán elemi egyenlőtlenségeket és a binomiális tételt. Tőle függetlenül sikerült a szerzőnek a valamivel élesebb 0,911<n!(ne)n2πn<1,085 egyenlőtlenséget bebizonyítania, ám a bizonyítás elemi volta elveszett: a felső becslés ugyanis deriválást használ, az alsó becsléshez pedig egy integrált kellett kiszámítani.
Most azt fogjuk megmutatni, hogy még erősebb eszközökkel, nevezetesen deriválással és a Stirling-formula felhasználásával (melynek bizonyítása hosszadalmas és szintén nem elemi) ezen egyenlőtlenségek tovább javíthatók, és meg is adjuk an legjobb alsó- és felső korlátját, azaz megkeressük a legnagyobb c1 és a legkisebb c2 valós számokat, melyekre minden nN+ esetén c1<n!(ne)n2πnc2.
A bizonyítás az alábbi észrevételen múlik.
 
Állítás. Az an sorozat szigorúan monoton fogyó.
 
Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy an>an+1 (n1), azaz (mivel minden elem pozitív) anan+1>1. Ez ekvivalens a következőkkel:
1<n!(ne)n2πn(n+1e)n+12π(n+1)(n+1)!=(n+1)n+1enn+1nnn(n+1)en+1==(n+1)n+12(n+1)nn+12(n+1)e=1e(1+1n)n+12,
vagyis az e<(1+1n)n+12 egyenlőtlenséget kell igazolnunk. Kész lesz a bizonyítás, ha megmutatjuk, hogy az (1+1n)n+12 sorozat szigorúan monoton fogyó, hiszen az e szám definíciója folytán
limn(1+1n)n+12=limn1+1n(1+1n)n=1e,
és szigorúan monoton fogyó sorozat minden tagja nagyobb a sorozat határértékénél.
Az (1+1n)n+12 sorozat helyett az x(1+1x)x+12 függvényt vizsgálva deriváltjára
(1+1x)x+12(ln(1+1x)-x+12x(x+1))
adódik (itt ln jelöli a természetes alapú logaritmust). Elég tehát megmutatni, hogy minden x>0 esetén az f(x)=ln(1+1x)-x+12x(x+1) függvény negatív. Ez viszont némi számolással következik abból, hogy limx0+f(x)=-, limxf(x)=0 és minden x>0-ra f'(x)=12x2(x+1)2>0.
 
1. Megjegyzés. A bn=(1+1n)n+α (0α1) alakú sorozatok α=0-ra, illetve α=1-re az e szám szokásos definíciójában fordulnak elő. Könnyen látható, hogy tetszőleges α[0,1] esetén limnbn=e. Bebizonyítható továbbá, hogy éppen α=12 esetén leggyorsabb a konvergencia.
Mivel a Stirling-formula szerint limnan=1 és beláttuk, hogy an szigorúan monoton fogyó, ezért tetszőleges n1 esetén an>1 valamint ana1 következik. Igaz tehát az alábbi
 
Következmény. Minden nN+ esetén
1<n!(ne)n2πne2π,
és a bal-, illetve jobb oldalon álló c1=1 és c2=e2π konstansok nem javíthatók.

Eredeti kérdésünkhöz visszatérve n!-ra a fenti értelemben legjobb becsléseket kapjuk:
(ne)n2πn<n!(ne)nen.

 
2. Megjegyzés. Taylor-sorfejtés és további függvényvizsgálatok segítségével (melyek nagyon sok számolást igényelnek) egyre finomabb becslések találhatók. Ezek közül egy (minden pozitív egész n-re érvényes) egyenlőtlenség az alábbi:
1+112n<an<e112n=1+112n+1288n2+...
vagyis
(ne)n2πn(1+112n)<n!<(ne)n2πne112n.
A bizonyításban a
cn=n!(ne)n2πne112n
sorozatról kell megmutatnunk, hogy szigorúan monoton növő, a
dn=n!(ne)n2πn(1+112n)
sorozatról pedig azt, hogy szigorúan monoton fogyó. A Stirling-formula szerint
limncn=limndn=1,
ebből pedig (minden nN+ esetére) cn<1<dn következik, ami ekvivalens a fenti állítással.
 
3. Megjegyzés. A faktoriális függvényt a nemnegatív egész helyekről ki lehet terjeszteni (a negatív egész helyek kivételével) valós, sőt komplex értékekre is, így kapjuk az ún. Γ függvényt, ahol Γ a görög nagy gamma betű. (Pozitív egész n-ek esetére Γ(n)=(n-1)!) Speciális esetként adódnak például az alábbi nevezetes értékek: (12)!=π2 , illetve (-12)!=π.
Az xΓ(x) (xR) és a z|Γ(z)|  (zC) függvény grafikonját az alábbi ábrákon láthatjuk.
 

 
4. Megjegyzés. Az n! függvény hihetetlenül gyorsan nő. Ha hagyományos ,,kockás" füzetben próbálnánk ábrázolni értékeit, már n=28-nál (azaz 14 cm-re jobbra az origótól) megakadnánk: itt ugyanis a 28!3,0491029 értéket veszi fel függvényünk. Ehhez pedig füzetünkben felfelé többet kellene haladnunk, mint a ma ismert Világegyetem mérete!