A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Egy város lakóinak száma jelenleg . A növekedés mértéke évente . Hány lakosa volt a városnak évvel ezelőtt? Három év alatt hány százalékkal nőtt a lakosság létszáma?
Megoldás. Ha a város lakóinak száma három évvel ezelőtt volt, akkor | | A város lakóinak száma tehát volt, a növekedés pedig 15,76%-os.
2. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert: | |
Megoldás. A logaritmus értelmezése szerint , . A második egyenletből | | így az függvény szigorú monotonitása miatt . Helyettesítéssel és azonos átalakításokkal | | Ez utóbbi egyenlet mindkét oldalának vegyük a hármas alapú logaritmusát (ez ekvivalens átalakítás), ekkor , ahonnan vagy , így , vagy , . Mindkét számpár valóban megoldás.
3. Egy egység oldalú négyzet minden oldalára a négyzet belsejében olyan egyenlő szárú háromszögeket szerkesztünk, amelyeknél a szárak által bezárt szög -os. Mekkora annak a négyszögnek a területe, amelynek csúcsai a háromszögek négyzeten belüli csúcsaival azonosak?
Megoldás. A keletkezett négyszög négyzet. A -os egyenlő szárú háromszögek alapjához tartozó magasság 1 egység, így a négyzet átlóinak hossza egység, a négyzet területe területegység.
4. Az derékszögű háromszög átfogója egység. Az átfogó felezőpontja , a befogó felezőpontja . A súlyvonal merőleges az súlyvonalra. Számítsuk ki a befogók hosszát.
Megoldás. Jelölje a háromszög súlypontját. Az és a is derékszögű háromszögek. Legyen , . Thalész tételéből , így . Legyen , ekkor . Pitagorasz tételének alkalmazásával: | | Helyettesítő módszerrel kaphatjuk a megoldást, , , . A befogók hossza egység, egység.
5. Egy téglatest két oldallapjának területe illetve területegység, a testátló hossza egység. Számítsuk ki a téglatest felszínét és térfogatát.
Megoldás. Jelölje a téglalap egy csúcsából induló éleit , és . A feltételek alkalmazásával , és . Innen , tehát és , tehát , azaz . Az egyenlet megoldása: vagy . A feltételeknek két test felel meg, az egyiknek az élei , , egység, a másiké , , egység. A két téglatest felszíne illetve térfogata: területegység, területegység, térfogategység, térfogategység.
6. Melyek azok az természetes számok, amelyekre az alábbi állítások közül pontosan két állítás igaz? | |
Megoldás. Az a) állítás akkor igaz, ha 4n2-120n+899<0, azaz ha 14,5<n<15,5, tehát n=15. A b) állítás akkor igaz, ha n=7k-1 alakú, ahol n∈N+. A c) állítás akkor igaz, ha n2=7m+1 alakú, ahol m∈N. Az a) és a b) állítás egyszerre nem igaz, 15 nem 7k-1 alakú. Az a) és a c) állítás egyszerre akkor igaz, ha n=15 és ekkor a b) állítás nem igaz. A b) és c) állítás egyszerre akkor igaz, ha n=7k-1, hiszen ekkor ekkor a) nem igaz. Pontosan két állítás akkor igaz, ha n=15 vagy n=7k-1 (k∈N+) alakú.
7. Adjuk meg az α paraméter azon értékeit a [0,2π] intervallumban, amelyeknél a (2sinα+1)x2-4x+4sinα-2=0 egyenlet gyökei ellenkező előjelűek.
Megoldás. A pontosan másodfokú ax2+bx+c=0 (a≠0) egyenletnek akkor és csak akkor van két ellenkező előjelű valós gyöke, ha ac<0, hiszen ekkor az egyenlet diszkriminánsa D=b2-4ac>0 és a gyökök szorzata x1x2=ca<0. (Ha c=0 vagy ac>0, akkor ha van gyök, ezek egyike 0, vagy egyező előjelűek.) Az adott egyenlet gyökei akkor ellenkező előjelűek, ha 2sinα+1≠0, sinα≠-12 és | (2sinα+1)(4sinα-2)<0,2⋅4(sinα+12)(sinα-12)<0, | ami akkor teljesül, ha -12<sinα<12. Mivel 0≤α≤2π, ezért a feltételeknek a következő értékek felelnek meg: | 0≤α<π6vagy5π6<α<7π6vagy11π6<α≤2π. |
8. Hány olyan egyenes illeszkedik a sík B(4;3) pontjára, amely az x tengelyt egész abszcisszájú pontjában, az y tengely pozitív felét prímszám ordinátájú pontjában metszi? Írjuk fel ezeknek az egyeneseknek az egyenletét.
Megoldás. Ha az egyenes az x tengelyt az A(a;0) (a∈Z), az y tengelyt a C(0;p) pontban metszi, akkor az egyenes egyenlete: A B(4;3) pont rajta van az egyeneseken, ezért 4p+3a=ap. Azonos átalakításokkal | 4p-ap+3a=0,p(4-a)+3(a-4)+12=0(a-4)(p-3)=12,a-4=12p-3. | p prímszám és p-3 osztója 12-nek, ezért ha p=2, akkor a=-8, ha p=5, akkor a=10, ha p=7, akkor a=7. A feltételeknek három egyenes felel meg, ezek egyenlete: |