Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2002/2. sz. feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/március, 150 - 152. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Egy város lakóinak száma jelenleg $86 000$ . A növekedés mértéke évente $5 %$ . Hány lakosa volt a városnak $3$ évvel ezelőtt? Három év alatt hány százalékkal nőtt a lakosság létszáma?

Megoldás. Ha a város lakóinak száma három évvel ezelőtt

x

volt, akkor

\begin{matrix} x \cdot 1, 05^{3} = 8600, x \cdot 1, 1576 = 86 000, x = 74 290. \end{matrix}

A város lakóinak száma tehát

74 290

volt, a növekedés pedig 15,76%-os.

2. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{log_{3} y} + 2 \cdot y^{log_{3} x} & = 27, \\ log_{3} y - log_{3} x & = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Megoldás. A logaritmus értelmezése szerint

x > 0

y > 0

. A második egyenletből

\begin{matrix} log_{3} y = log_{3} x + log_{3} 3, log_{3} y = log_{3} 3 x, \end{matrix}

így az

x \mapsto log_{3} x

függvény szigorú monotonitása miatt

y = 3 x

. Helyettesítéssel és azonos átalakításokkal

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{log_{3} 3 x} & + 2 \cdot {(3 x)}^{log_{3} x} = 27, & x^{1 + log_{3} x} + 2 \cdot {(3 x)}^{log_{3} x} & = 27, \\ x \cdot x^{log_{3} x} & + 2 \cdot 3^{log_{3} x} \cdot x^{log_{3} x} = 27, \\ x \cdot x^{log_{3} x} & + 2 \cdot x \cdot x^{log_{3} x} = 27, & x \cdot x^{log_{3} x} & = 9. \end{matrix} \end{matrix}

Ez utóbbi egyenlet mindkét oldalának vegyük a hármas alapú logaritmusát (ez ekvivalens átalakítás), ekkor

log_{3} x + {(log_{3} x)}^{2} = 2

, ahonnan

log_{3} x = 1

vagy

log_{3} x = - 2

, így

x_{1} = 3

y_{1} = 9

vagy

x_{2} = \frac{1}{9}

y_{2} = \frac{1}{3}

. Mindkét számpár valóban megoldás.

3. Egy

2 \sqrt[]{3}

egység oldalú négyzet minden oldalára a négyzet belsejében olyan egyenlő szárú háromszögeket szerkesztünk, amelyeknél a szárak által bezárt szög

120^{\circ}

-os. Mekkora annak a négyszögnek a területe, amelynek csúcsai a háromszögek négyzeten belüli csúcsaival azonosak?

Megoldás. A keletkezett négyszög négyzet. A

120^{\circ}

-os egyenlő szárú háromszögek alapjához tartozó magasság 1 egység, így a négyzet átlóinak hossza

(2 \sqrt[]{3} - 2)

egység, a négyzet területe

\begin{matrix} T = \frac{{(2 \sqrt[]{3} - 2)}^{2}}{2} = 8 - 4 \sqrt[]{3} \end{matrix}

területegység.

4. Az

A B C

derékszögű háromszög átfogója

A B = 2 \sqrt[]{3}

egység. Az átfogó felezőpontja

C_{1}

, a

B C

befogó felezőpontja

A_{1}

. A

C C_{1}

súlyvonal merőleges az

A A_{1}

súlyvonalra. Számítsuk ki a befogók hosszát.

Megoldás. Jelölje

S

a háromszög súlypontját. Az

A S C

és a

C S A_{1}

is derékszögű háromszögek. Legyen

C A_{1} = A_{1} B = a

A C = b

. Thalész tételéből

C C_{1} = \sqrt[]{3}

, így

C S = \frac{2 \sqrt[]{3}}{3}

. Legyen

S A_{1} = x

, ekkor

A S = 2 x

. Pitagorasz tételének alkalmazásával:

\begin{matrix} 4 a^{2} + b^{2} = 12, a^{2} + b^{2} = {(3 x)}^{2} és x^{2} + \frac{4}{3} = a^{2} . \end{matrix}

Helyettesítő módszerrel kaphatjuk a megoldást,

a = \sqrt[]{2}

2 a = 2 \sqrt[]{2}

b = 2

. A befogók hossza

A C = b = \sqrt[]{2}

egység,

B C = 2 a = 2 \sqrt[]{2}

egység.

5. Egy téglatest két oldallapjának területe

12

illetve

36

területegység, a testátló hossza

13

egység. Számítsuk ki a téglatest felszínét és térfogatát.

Megoldás. Jelölje a téglalap egy csúcsából induló éleit

a

b

és

c

. A feltételek alkalmazásával

a b = 12

b c = 36

és

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 169

. Innen

c = 3 a

, tehát

10 a^{2} + b^{2} = 169

és

b = \frac{12}{a}

, tehát

10 a^{2} + \frac{144}{a^{2}} = 169

, azaz

10 a^{4} - 169 a^{2} + 144 = 0

. Az egyenlet megoldása:

a^{2} = 16

vagy

a^{2} = \frac{9}{10}

.
A feltételeknek két test felel meg, az egyiknek az élei

a = 4

b = 3

c = 12

egység, a másiké

a = \frac{3}{\sqrt[]{10}}

b = 4 \sqrt[]{10}

c = \frac{9}{\sqrt[]{10}}

egység. A két téglatest felszíne illetve térfogata:

A_{1} = 2 (12 + 36 + 48) = 192

területegység,

A_{2} = 2 (12 + 36 + 2, 7) = 101, 4

területegység,

V_{1} = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144

térfogategység,

V_{2} = \frac{3}{\sqrt[]{10}} \cdot \frac{9}{\sqrt[]{10}} \cdot 4 \sqrt[]{10} = \frac{108}{\sqrt[]{10}}

(\approx 34, 154)

térfogategység.

6. Melyek azok az

n

természetes számok, amelyekre az alábbi állítások közül pontosan két állítás igaz?

\begin{matrix} \begin{matrix} a) & 120 n - 4 n^{2} - 899 > 0; \\ b) & n + 1 osztható7-tel; \\ c) & n^{2} - 1 osztható7-tel. \end{matrix} \end{matrix}

Megoldás. Az a) állítás akkor igaz, ha

4 n^{2} - 120 n + 899 < 0

, azaz ha

14, 5 < n < 15, 5

, tehát

n = 15

.
A b) állítás akkor igaz, ha

n = 7 k - 1

alakú, ahol

n \in N^{+}

.
A c) állítás akkor igaz, ha

n^{2} = 7 m + 1

alakú, ahol

m \in N

.
Az a) és a b) állítás egyszerre nem igaz, 15 nem

7 k - 1

alakú.
Az a) és a c) állítás egyszerre akkor igaz, ha

n = 15

és ekkor a b) állítás nem igaz.
A b) és c) állítás egyszerre akkor igaz, ha

n = 7 k - 1

, hiszen ekkor

\begin{matrix} n^{2} - 1 = {(7 k - 1)}^{2} - 1 = 7 (7 k - 2), \end{matrix}

ekkor a) nem igaz.
Pontosan két állítás akkor igaz, ha

n = 15

vagy

n = 7 k - 1

(

k \in N^{+}

) alakú.

7. Adjuk meg az

α

paraméter azon értékeit a

[0,2 π]

intervallumban, amelyeknél a

(2 sin α + 1) x^{2} - 4 x + 4 sin α - 2 = 0

egyenlet gyökei ellenkező előjelűek.

Megoldás. A pontosan másodfokú

a x^{2} + b x + c = 0

(

a \neq 0

) egyenletnek akkor és csak akkor van két ellenkező előjelű valós gyöke, ha

a c < 0

, hiszen ekkor az egyenlet diszkriminánsa

D = b^{2} - 4 a c > 0

és a gyökök szorzata

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} < 0

. (Ha

c = 0

vagy

a c > 0

, akkor ha van gyök, ezek egyike 0, vagy egyező előjelűek.)
Az adott egyenlet gyökei akkor ellenkező előjelűek, ha

2 sin α + 1 \neq 0

sin α \neq - \frac{1}{2}

és

\begin{matrix} \begin{matrix} (2 sin α + 1) (4 sin α - 2) & < 0, \\ 2 \cdot 4 (sin α + \frac{1}{2}) (sin α - \frac{1}{2}) & < 0, \end{matrix} \end{matrix}

ami akkor teljesül, ha

- \frac{1}{2} < sin α < \frac{1}{2}

.
Mivel

0 \leq α \leq 2 π

, ezért a feltételeknek a következő értékek felelnek meg:

\begin{matrix} 0 \leq α < \frac{π}{6} vagy \frac{5 π}{6} < α < \frac{7 π}{6} vagy \frac{11 π}{6} < α \leq 2 π . \end{matrix}

8. Hány olyan egyenes illeszkedik a sík

B (4; 3)

pontjára, amely az

x

tengelyt egész abszcisszájú pontjában, az

y

tengely pozitív felét prímszám ordinátájú pontjában metszi? Írjuk fel ezeknek az egyeneseknek az egyenletét.

Megoldás. Ha az egyenes az

x

tengelyt az

A (a; 0)

(

a \in Z

), az

y

tengelyt a

C (0; p)

pontban metszi, akkor az egyenes egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x}{a} + \frac{y}{p} = 1, p x + a y = p a . \end{matrix}

B (4; 3)

pont rajta van az egyeneseken, ezért

4 p + 3 a = a p

. Azonos átalakításokkal

\begin{matrix} \begin{matrix} 4 p - a p + 3 a = 0, & p (4 - a) + 3 (a - 4) + 12 = 0 \\ (a - 4) (p - 3) = 12, & a - 4 = \frac{12}{p - 3} . \end{matrix} \end{matrix}

p

prímszám és

p - 3

osztója 12-nek, ezért ha

p = 2

, akkor

a = - 8

, ha

p = 5

, akkor

a = 10

, ha

p = 7

, akkor

a = 7

. A feltételeknek három egyenes felel meg, ezek egyenlete:

\begin{matrix} x - 4 y = - 8, x + 2 y = 10, x + y = 7. \end{matrix}