Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a 2002/2. sz. feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2002/március, 150 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Egy város lakóinak száma jelenleg 86000. A növekedés mértéke évente 5%. Hány lakosa volt a városnak 3 évvel ezelőtt? Három év alatt hány százalékkal nőtt a lakosság létszáma?
 
Megoldás. Ha a város lakóinak száma három évvel ezelőtt x volt, akkor
x1,053=8600,x1,1576=86000,x=74290.
A város lakóinak száma tehát 74290 volt, a növekedés pedig 15,76%-os.

2. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert:
xlog3y+2ylog3x=27,log3y-log3x=1.

 
Megoldás. A logaritmus értelmezése szerint x>0, y>0. A második egyenletből
log3y=log3x+log33,log3y=log33x,
így az xlog3x függvény szigorú monotonitása miatt y=3x. Helyettesítéssel és azonos átalakításokkal
xlog33x+2(3x)log3x=27,x1+log3x+2(3x)log3x=27,xxlog3x+23log3xxlog3x=27,xxlog3x+2xxlog3x=27,xxlog3x=9.
Ez utóbbi egyenlet mindkét oldalának vegyük a hármas alapú logaritmusát (ez ekvivalens átalakítás), ekkor log3x+(log3x)2=2, ahonnan log3x=1 vagy log3x=-2, így x1=3, y1=9 vagy x2=19, y2=13. Mindkét számpár valóban megoldás.

3. Egy 23 egység oldalú négyzet minden oldalára a négyzet belsejében olyan egyenlő szárú háromszögeket szerkesztünk, amelyeknél a szárak által bezárt szög 120-os. Mekkora annak a négyszögnek a területe, amelynek csúcsai a háromszögek négyzeten belüli csúcsaival azonosak?
 
Megoldás. A keletkezett négyszög négyzet. A 120-os egyenlő szárú háromszögek alapjához tartozó magasság 1 egység, így a négyzet átlóinak hossza (23-2) egység, a négyzet területe
T=(23-2)22=8-43
területegység.

4. Az ABC derékszögű háromszög átfogója AB=23 egység. Az átfogó felezőpontja C1, a BC befogó felezőpontja A1. A CC1 súlyvonal merőleges az AA1 súlyvonalra. Számítsuk ki a befogók hosszát.
 
Megoldás. Jelölje S a háromszög súlypontját. Az ASC és a CSA1 is derékszögű háromszögek. Legyen CA1=A1B=a, AC=b. Thalész tételéből CC1=3, így CS=233. Legyen SA1=x, ekkor AS=2x. Pitagorasz tételének alkalmazásával:
4a2+b2=12,a2+b2=(3x)2ésx2+43=a2.
Helyettesítő módszerrel kaphatjuk a megoldást, a=2, 2a=22, b=2. A befogók hossza AC=b=2 egység, BC=2a=22 egység.

5. Egy téglatest két oldallapjának területe 12 illetve 36 területegység, a testátló hossza 13 egység. Számítsuk ki a téglatest felszínét és térfogatát.
 
Megoldás. Jelölje a téglalap egy csúcsából induló éleit a, b és c. A feltételek alkalmazásával ab=12, bc=36 és a2+b2+c2=169. Innen c=3a, tehát 10a2+b2=169 és b=12a, tehát 10a2+144a2=169, azaz 10a4-169a2+144=0. Az egyenlet megoldása: a2=16 vagy a2=910.
A feltételeknek két test felel meg, az egyiknek az élei a=4, b=3, c=12 egység, a másiké a=310, b=410, c=910 egység. A két téglatest felszíne illetve térfogata: A1=2(12+36+48)=192 területegység, A2=2(12+36+2,7)=101,4 területegység, V1=3412=144 térfogategység, V2=310910410=10810 (34,154) térfogategység.

6. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre az alábbi állítások közül pontosan két állítás igaz?
a)120n-4n2-899>0;b)n+1  osztható  7-tel;c)n2-1  osztható  7-tel.

 
Megoldás. Az a) állítás akkor igaz, ha 4n2-120n+899<0, azaz ha 14,5<n<15,5, tehát n=15.
b) állítás akkor igaz, ha n=7k-1 alakú, ahol nN+.
c) állítás akkor igaz, ha n2=7m+1 alakú, ahol mN.
Az a) és a b) állítás egyszerre nem igaz, 15 nem 7k-1 alakú.
Az a) és a c) állítás egyszerre akkor igaz, ha n=15 és ekkor a b) állítás nem igaz.
b) és c) állítás egyszerre akkor igaz, ha n=7k-1, hiszen ekkor
n2-1=(7k-1)2-1=7(7k-2),
ekkor a) nem igaz.
Pontosan két állítás akkor igaz, ha n=15 vagy n=7k-1 (kN+) alakú.

7. Adjuk meg az α paraméter azon értékeit a [0,2π] intervallumban, amelyeknél a (2sinα+1)x2-4x+4sinα-2=0 egyenlet gyökei ellenkező előjelűek.
 
Megoldás. A pontosan másodfokú ax2+bx+c=0 (a0) egyenletnek akkor és csak akkor van két ellenkező előjelű valós gyöke, ha ac<0, hiszen ekkor az egyenlet diszkriminánsa D=b2-4ac>0 és a gyökök szorzata x1x2=ca<0. (Ha c=0 vagy ac>0, akkor ha van gyök, ezek egyike 0, vagy egyező előjelűek.)
Az adott egyenlet gyökei akkor ellenkező előjelűek, ha 2sinα+10, sinα-12 és
(2sinα+1)(4sinα-2)<0,24(sinα+12)(sinα-12)<0,
ami akkor teljesül, ha -12<sinα<12.
Mivel 0α2π, ezért a feltételeknek a következő értékek felelnek meg:
0α<π6vagy5π6<α<7π6vagy11π6<α2π.


8. Hány olyan egyenes illeszkedik a sík B(4;3) pontjára, amely az x tengelyt egész abszcisszájú pontjában, az y tengely pozitív felét prímszám ordinátájú pontjában metszi? Írjuk fel ezeknek az egyeneseknek az egyenletét.
 
Megoldás. Ha az egyenes az x tengelyt az A(a;0) (aZ), az y tengelyt a C(0;p) pontban metszi, akkor az egyenes egyenlete:
xa+yp=1,px+ay=pa.

B(4;3) pont rajta van az egyeneseken, ezért 4p+3a=ap. Azonos átalakításokkal
4p-ap+3a=0,p(4-a)+3(a-4)+12=0(a-4)(p-3)=12,a-4=12p-3.
p prímszám és p-3 osztója 12-nek, ezért ha p=2, akkor a=-8, ha p=5, akkor a=10, ha p=7, akkor a=7. A feltételeknek három egyenes felel meg, ezek egyenlete:
x-4y=-8,x+2y=10,x+y=7.