Cím:	Mérőlapok felvételire
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2002/február, 76. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Pásztor István matematikus, egyetemi docens emlékére Rábai Imre   1. Egy város lakóinak száma jelenleg $86000$. A növekedés mértéke évente $5\%$. Hány lakosa volt a városnak $3$ évvel ezelőtt? Három év alatt hány százalékkal nőtt a lakosság létszáma?   2. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^{\text{log}{}_{3}y}+2\cdot y^{\text{log}{}_{3}x}}& {\displaystyle =\mathrm{27,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{3}y-\text{log}{}_{3}x}& {\displaystyle =1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   3. Egy $2\sqrt[]{3}$ egység oldalú négyzet minden oldalára a négyzet belsejében olyan egyenlő szárú háromszögeket szerkesztünk, amelyeknél a szárak által bezárt szög ${120}^{\circ }$-os. Mekkora annak a négyszögnek a területe, amelynek csúcsai a háromszögek négyzeten belüli csúcsaival azonosak?   4. Az $ABC$ derékszögű háromszög átfogója $AB=2\sqrt[]{3}$ egység. Az átfogó felezőpontja $C_1$, a $BC$ befogó felezőpontja $A_1$. A $C{C}_1$ súlyvonal merőleges az $A{A}_1$ súlyvonalra. Számítsuk ki a befogók hosszát!   5. Egy téglatest két oldallapjának területe $12$ illetve $36$ területegység, a testátló hossza $13$ egység. Számítsuk ki a téglatest felszínét és térfogatát!   6. Melyek azok az $n$ természetes számok, amelyekre az alábbi állítások közül pontosan két állítás igaz? $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle a)}& \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 120n-4n^2-899>0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b)}& \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle n+1\text{ osztható <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn></math>-tel;}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)}& \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle n^2-1\text{ osztható <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>7</mn></math>-tel.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   7. Adjuk meg az $\alpha$ paraméter azon értékeit a $\left[\mathrm{0,2}\pi \right]$ intervallumban, amelyeknél a $\left(2\text{sin}\alpha +1\right)x^2-4x+4\text{sin}\alpha -2=0$ egyenlet gyökei ellenkező előjelűek!   8. Hány olyan egyenes illeszkedik a sík $B\left(4;3\right)$ pontjára, amely az $x$ tengelyt egész abszcisszájú pontjában, az $y$ tengely pozitív felét prímszám ordinátájú pontjában metszi? Írjuk fel ezeknek az egyeneseknek az egyenletét!