A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Mivel , azért , . A másodfokú tényezőket szorzattá bontjuk: | | Szorozzuk mindkét oldalt -gyel: . Most 0-ra rendezünk, és kiemelünk -et: . A másodfokú tényezőt szorzattá bontjuk: , így a megoldások: , , .
2. A feladatban szereplő törtek nevezői és az osztandó nem nulla: ; 0; 1. Hozzunk egyszerűbb alakra: | | Alakítsuk ezt a következő módon: . Vagyis az lehetséges értékei: ; ; ; 1; 2; 4, amiből -ra adódik: ; ; 0; 2; 3; 5. A kikötéseket figyelembe véve az értékei: ; 2; 3; 5.
3. Számoljuk ki , és pontos értékét: | | A három pont: , , . Így , , vagyis . Ez azt jelenti, hogy , , egy egyenesen vannak.
4. Az I. eset: Ft befektetés esetén egy év múlva a követelés Ft. Vegyük figyelembe az infláció mértékét is, ezért az összeg értéke Ft lesz. A II. eset: Ft befektetés esetén egy év múlva a követelés Ft. Most is vegyük figyelembe az infláció mértékét, így az összeg értéke Ft lesz. Vagyis a II. változat a jobb a takarékoskodni szándékozónak.
5. Legyen az első tag , a differencia pedig , ekkor | |
6. A körök átmennek a megfelelő magasságtalppontokon a Thalesz tétel szerint. A két kör közös húrja , ahol ' magasságtalppont. Ha a magasságpont, akkor a húr szeleteire vonatkozó tétel alapján: és . Ebből következik, hogy , vagyis a , , , pontok egy körön vannak.
7. A három oldal ismeretében az háromszög területe kiszámítható, például így: | | Pitagorasz tételét alkalmazva: A'B'=212+(25-5)2=29cm, B'C'=202+(25-4)2=29cm, C'A'=132+(5-4)2=170cm. Az A'B'C' háromszög egyenlő szárú, alaphoz tartozó magassága is Pitagorasz tételével számolható ki: mb'=292-(1702)2=798,5cm. Így tA'B'C'=170⋅798,52=1357452cm2. Ha a szóban forgó két sík hajlásszöge α, akkor tABC=tA'B'C'⋅cosα, hiszen az A'B'C' háromszög merőleges vetülete az alaplap síkjára az ABC háromszög. Vagyis cosα≈0,6840, amiből α≈46,8∘.
8. Mivel f(x)=2x6-3x4+x2=x2(x2-12x2-1), azért | f(sinα)+f(cosα)=-sin2α(1-sin2α)(2sin2α-1)-cos2α(1-cos2α)(2cos2α-1)==-sin2αcos2α(2sin2α-1)-cos2αsin2α(2cos2α-1)==-sin2αcos2α(2sin2α-1+2cos2α-1)=-2sin2αcos2α(sin2α+cos2α-1)=0, | ami igaz, mert sin2α+cos2α=1 minden α esetén.
|
|