Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a 2001/6. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2001/október, 396 - 397. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Mivel $x^2+2x-3\ne 0$, azért $x\ne -3$, $x\ne 1$. A másodfokú tényezőket szorzattá bontjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x+2}{7}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Szorozzuk mindkét oldalt $7\left(x+3\right)\left(x-1\right)$-gyel: $2\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=7\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)$. Most 0-ra rendezünk, és kiemelünk $\left(x+1\right)$-et: $0=\left(x+1\right)\left(5x^2-11x-36\right)$. A másodfokú tényezőt szorzattá bontjuk: $0=\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(5x+9\right)$, így a megoldások: $x_1=-1$, $x_2=4$, $x_3=-\frac{9}{5}$.   2. A feladatban szereplő törtek nevezői és az osztandó nem nulla: $a\ne -1$; 0; 1. Hozzunk egyszerűbb alakra: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(\frac{a+1}{1-a}+\frac{a-1}{a+1}-\frac{4a^2}{a^2-1}\right):\left(\frac{2}{a^3+a^2}-\frac{2-2a+2a^2}{a^2}\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =\frac{-a^2-2a-1+a^2-2a+1-4a^2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}:\frac{2-\left(2-2a+2a^2\right)\left(a+1\right)}{a^2\left(a+1\right)}=\frac{-4a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\cdot \frac{a^2\left(a+1\right)}{-2a^3}=\frac{2a+2}{a-1}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Alakítsuk ezt a következő módon: $\frac{2a+2}{a-1}=\frac{2\left(a-1\right)+4}{a-1}=2+\frac{4}{a-1}$. Vagyis az $a-1$ lehetséges értékei: $-4$; $-2$; $-1$; 1; 2; 4, amiből $a$-ra adódik: $-3$; $-1$; 0; 2; 3; 5. A kikötéseket figyelembe véve az $a$ értékei: $-3$; 2; 3; 5.   3. Számoljuk ki $a$, $b$ és $c$ pontos értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =-\frac{\text{sin}{39}^{\circ }+\text{sin}{13}^{\circ }}{\text{sin}{26}^{\circ }\cdot \text{cos}{13}^{\circ }}=\frac{2\text{sin}\frac{{39}^{\circ }+{13}^{\circ }}{2}\cdot \text{cos}\frac{{39}^{\circ }-{13}^{\circ }}{2}}{\text{sin}{26}^{\circ }\cdot \text{cos}{13}^{\circ }}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{2\text{sin}{26}^{\circ }\cdot \text{cos}{13}^{\circ }}{\text{sin}{26}^{\circ }\cdot \text{cos}{13}^{\circ }}=-2.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =\sqrt[]{{10}^{2+\text{lg}25}}=\sqrt[]{{10}^{\text{lg}100+\text{lg}25}}=\sqrt[]{{10}^{\text{lg}2500}}=\sqrt[]{2500}=50.}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c}& {\displaystyle ={\left(\frac{1}{\sqrt[]{5}-2}\right)}^3-{\left(\frac{1}{\sqrt[]{5}+2}\right)}^3={\left(\sqrt[]{5}+2\right)}^3-{\left(\sqrt[]{5}-2\right)}^3=17\sqrt[]{5}+38-\left(17\sqrt[]{5}-38\right)=76.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A három pont: $A\left(1;-2\right)$, $B\left(3;50\right)$, $C\left(4;76\right)$. Így $\overrightarrow{AB}\left(2;52\right)$, $\overrightarrow{BC}\left(1;26\right)$, vagyis $\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{BC}$. Ez azt jelenti, hogy $A$, $B$, $C$ egy egyenesen vannak.   4. Az I. eset: $x$ Ft befektetés esetén egy év múlva a követelés $1\mathrm{,}2x$ Ft. Vegyük figyelembe az infláció mértékét is, ezért az összeg értéke $\frac{1\mathrm{,}2x}{1\mathrm{,}15}\approx 1\mathrm{,}0435x$ Ft lesz. A II. eset: $x$ Ft befektetés esetén egy év múlva a követelés $\mathrm{1,12}x$ Ft. Most is vegyük figyelembe az infláció mértékét, így az összeg értéke $\frac{1.12x}{\mathrm{1,07}}\approx \mathrm{1,0467}x$ Ft lesz. Vagyis a II. változat a jobb a takarékoskodni szándékozónak.   5. Legyen az első tag $a$, a differencia pedig $d$, ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+2{\left(a+d\right)}^2+3{\left(a+2d\right)}^2+4{\left(a+3d\right)}^2=10a^2+40ad+50d^2={\left(a+5d\right)}^2+{\left(3a+5d\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   6. A körök átmennek a megfelelő magasságtalppontokon a Thalesz tétel szerint. A két kör közös húrja $AA\text{'}$, ahol $A$' magasságtalppont. Ha $M$ a magasságpont, akkor a húr szeleteire vonatkozó tétel alapján: $AM\cdot MA\text{'}=DM\cdot ME$ és $AM\cdot MA\text{'}=FM\cdot MG$. Ebből következik, hogy $DM\cdot ME=FM\cdot MG$, vagyis a $D$, $E$, $F$, $G$ pontok egy körön vannak.   7. A három oldal ismeretében az $ABC$ háromszög területe kiszámítható, például így: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{ABC}=\sqrt[]{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}=\sqrt[]{27\left(27-20\right)\left(27-13\right)\left(27-21\right)}=\sqrt[]{15876}=126\text{c<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}\mathrm{.}}\end{array}$ Pitagorasz tételét alkalmazva: $A\text{'}B\text{'}=\sqrt[]{{21}^2+{\left(25-5\right)}^2}=29\text{cm}$, $B\text{'}C\text{'}=\sqrt[]{{20}^2+{\left(25-4\right)}^2}=29\text{cm}$, $C\text{'}A\text{'}=\sqrt[]{{13}^2+{\left(5-4\right)}^2}=\sqrt[]{170}\text{cm}$. Az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög egyenlő szárú, alaphoz tartozó magassága is Pitagorasz tételével számolható ki: $m_{b\text{'}}=\sqrt[]{{29}^2-{\left(\frac{\sqrt[]{170}}{2}\right)}^2}=\sqrt[]{\mathrm{798,5}}\text{cm}$. Így $t_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{\sqrt[]{170}\cdot \sqrt[]{\mathrm{798,5}}}{2}=\frac{\sqrt[]{135745}}{2}{\text{cm}}^2$. Ha a szóban forgó két sík hajlásszöge $\alpha$, akkor $t_{ABC}=t_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}\cdot \text{cos}\alpha$, hiszen az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög merőleges vetülete az alaplap síkjára az $ABC$ háromszög. Vagyis $\text{cos}\alpha \approx \mathrm{0,6840}$, amiből $\alpha \approx 46\mathrm{,}{8}^{\circ }$.   8. Mivel $f\left(x\right)=2x^6-3x^4+x^2=x^2\left(x^2-12x^2-1\right)$, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(\text{sin}\alpha \right)+f\left(\text{cos}\alpha \right)=-\text{sin}{}^2\alpha \left(1-\text{sin}{}^2\alpha \right)\left(2\text{sin}{}^2\alpha -1\right)-\text{cos}{}^2\alpha \left(1-\text{cos}{}^2\alpha \right)\left(2\text{cos}{}^2\alpha -1\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =-\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha \left(2\text{sin}{}^2\alpha -1\right)-\text{cos}{}^2\alpha \text{sin}{}^2\alpha \left(2\text{cos}{}^2\alpha -1\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =-\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha \left(2\text{sin}{}^2\alpha -1+2\text{cos}{}^2\alpha -1\right)=-2\text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha \left(\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha -1\right)=\mathrm{0,}}\end{array}}}\end{array}$ ami igaz, mert $\text{sin}{}^2\alpha +\text{cos}{}^2\alpha =1$ minden $\alpha$ esetén. Számadó László