Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a 2001/6. sz. felvételi előkészítő feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2001/október, 396 - 397. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Mivel x2+2x-30, azért x-3, x1. A másodfokú tényezőket szorzattá bontjuk:
2x+27=(x-3)(x+2)(x+1)(x+3)(x-1).
Szorozzuk mindkét oldalt 7(x+3)(x-1)-gyel: 2(x+3)(x-1)(x+1)=7(x-3)(x+2)(x+1). Most 0-ra rendezünk, és kiemelünk (x+1)-et: 0=(x+1)(5x2-11x-36). A másodfokú tényezőt szorzattá bontjuk: 0=(x+1)(x-4)(5x+9), így a megoldások: x1=-1, x2=4, x3=-95.
 
2. A feladatban szereplő törtek nevezői és az osztandó nem nulla: a-1; 0; 1. Hozzunk egyszerűbb alakra:
(a+11-a+a-1a+1-4a2a2-1):(2a3+a2-2-2a+2a2a2)==-a2-2a-1+a2-2a+1-4a2(a-1)(a+1):2-(2-2a+2a2)(a+1)a2(a+1)=-4a(a+1)(a-1)(a+1)a2(a+1)-2a3=2a+2a-1.
Alakítsuk ezt a következő módon: 2a+2a-1=2(a-1)+4a-1=2+4a-1. Vagyis az a-1 lehetséges értékei: -4; -2; -1; 1; 2; 4, amiből a-ra adódik: -3; -1; 0; 2; 3; 5.
A kikötéseket figyelembe véve az a értékei: -3; 2; 3; 5.
 
3. Számoljuk ki a, b és c pontos értékét:
a=-sin39+sin13sin26cos13=2sin39+132cos39-132sin26cos13==-2sin26cos13sin26cos13=-2.b=102+lg25=10lg100+lg25=10lg2500=2500=50.c=(15-2)3-(15+2)3=(5+2)3-(5-2)3=175+38-(175-38)=76.
A három pont: A(1;-2), B(3;50), C(4;76). Így AB(2;52), BC(1;26), vagyis AB=2BC. Ez azt jelenti, hogy A, B, C egy egyenesen vannak.
 
4. Az I. eset: x Ft befektetés esetén egy év múlva a követelés 1,2x Ft. Vegyük figyelembe az infláció mértékét is, ezért az összeg értéke 1,2x1,151,0435x Ft lesz.
A II. eset: x Ft befektetés esetén egy év múlva a követelés 1,12x Ft. Most is vegyük figyelembe az infláció mértékét, így az összeg értéke 1.12x1,071,0467x Ft lesz.
Vagyis a II. változat a jobb a takarékoskodni szándékozónak.
 
5. Legyen az első tag a, a differencia pedig d, ekkor
a2+2(a+d)2+3(a+2d)2+4(a+3d)2=10a2+40ad+50d2=(a+5d)2+(3a+5d)2.

 
6. A körök átmennek a megfelelő magasságtalppontokon a Thalesz tétel szerint. A két kör közös húrja AA', ahol A' magasságtalppont. Ha M a magasságpont, akkor a húr szeleteire vonatkozó tétel alapján: AMMA'=DMME és AMMA'=FMMG. Ebből következik, hogy DMME=FMMG, vagyis a D, E, F, G pontok egy körön vannak.
 
7. A három oldal ismeretében az ABC háromszög területe kiszámítható, például így:
tABC=s(s-a)(s-b)(s-c)=27(27-20)(27-13)(27-21)=15876=126cm2.
Pitagorasz tételét alkalmazva: A'B'=212+(25-5)2=29cm, B'C'=202+(25-4)2=29cm, C'A'=132+(5-4)2=170cm.
Az A'B'C' háromszög egyenlő szárú, alaphoz tartozó magassága is Pitagorasz tételével számolható ki: mb'=292-(1702)2=798,5cm.
Így tA'B'C'=170798,52=1357452cm2.
Ha a szóban forgó két sík hajlásszöge α, akkor tABC=tA'B'C'cosα, hiszen az A'B'C' háromszög merőleges vetülete az alaplap síkjára az ABC háromszög. Vagyis cosα0,6840, amiből α46,8.
 
8. Mivel f(x)=2x6-3x4+x2=x2(x2-12x2-1), azért
f(sinα)+f(cosα)=-sin2α(1-sin2α)(2sin2α-1)-cos2α(1-cos2α)(2cos2α-1)==-sin2αcos2α(2sin2α-1)-cos2αsin2α(2cos2α-1)==-sin2αcos2α(2sin2α-1+2cos2α-1)=-2sin2αcos2α(sin2α+cos2α-1)=0,
ami igaz, mert sin2α+cos2α=1 minden α esetén.

Számadó László