Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2001/szeptember, 342. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x+2}{7}=\frac{\left(x^2-x-6\right)\left(x+1\right)}{x^2+2x-3}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Mely $a$ egész számok esetén lesz a következő kifejezés helyettesítési értéke is egész? $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\frac{a+1}{1-a}+\frac{a-1}{a+1}-\frac{4a^2}{a^2-1}\right):\left(\frac{2}{a^3+a^2}-\frac{2-2a+2a^2}{a^2}\right)}\end{array}$   3. Három pont, $A\left(1;a\right)$, $B\left(3;b\right)$, $C\left(4;c\right)$ második koordinátájáról tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-\frac{\text{sin}{39}^{\circ }+\text{sin}{13}^{\circ }}{\text{sin}{26}^{\circ }\cdot \text{cos}{13}^{\circ }}\mathrm{,}b=\sqrt[]{{10}^{2+\text{lg}25}}\mathrm{,}c={\left(\frac{1}{\sqrt[]{5}-2}\right)}^3-{\left(\frac{1}{\sqrt[]{5}+2}\right)}^3\mathrm{.}}\end{array}$ Egy egyenesen van-e ez a három pont?   4. Az alábbi két változat közül melyik a kedvezőbb: I. A bank évi 20% kamatot fizet, az éves infláció pedig 15%,  II. A bank évi 12% kamatot fizet, az éves infláció pedig 7%.   5. Egy egész számokból álló számtani sorozat első négy tagja: $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$. Mutassuk meg, hogy $1\cdot a_1^2+2\cdot a_2^2+3\cdot a_3^2+4\cdot a_4^2$ felírható két négyzetszám összegeként!   6. Adott az $ABC$ hegyesszögű háromszög. Az $AC$ átmérőjű körnek és a $B$ csúcsból induló magasság egyenesének metszéspontjai $D$ és $E$, az $AB$ átmérőjű körnek és a $C$ csúcsból induló magasság egyenesének metszéspontjai pedig $F$ és $G$. Mutassuk meg, hogy a $D$, $E$, $F$, $G$ pontok egy körön vannak!   7. Az $ABC$ háromszög alapú egyenes hasáb alapélei $AB=21$ cm, $BC=20$ cm és $CA=13$ cm hosszúságúak. Az oldaléleken bejelöljük az $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ pontokat: $AA\text{'}=5$ cm, $BB\text{'}=25$ cm és $CC\text{'}=4$ cm. Mekkora szöget zár be az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög síkja az $ABC$ háromszög síkjával?   8. Legyen $f\left(x\right)=2x^6-3x^4+x^2$. Bizonyítsuk be, hogy $f\left(\text{sin}\alpha \right)+f\left(\text{cos}\alpha \right)=0$.   Számadó László