Cím: A márciusi szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2001/április, 206 - 207. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. A koszinusztétel és a háromszög területképletének alkalmazásával
2abcosγ=a2+b2-c2és2absinγ=4T.
Emeljük négyzetre az egyenleteket, majd adjuk őket össze:
4a2b2=16T2+(a2+b2-c2)2,
ebből következik az első állítás. Innen
16T2=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2),16T2=(a+b-c)(a+b+c)(c+a-b)(c-a+b).
Mivel a+b+c=2s, -a+b+c=2(s-a), a-b+c=2(s-b) és a+b-c=2(s-c), azért valóban
T2=s(s-a)(s-b)(s-c).

 
2. Az egyenletnek minden valós x-re van értelme. Emeljük köbre az egyenlet mindkét oldalát. Az így kapott egyenlet az adott egyenlettel ekvivalens, hiszen az xx3, xR függvény nyilván szigorúan monoton. Alkalmazzuk az
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
azonosságot, rendezzük az egyenletet, végezzünk ekvivalens átalakításokat:
x+(2x-3)+3x32x-3312(x-1)3=12(x-1),32x2-3x3123x-13=9(x-1),12(2x2-3x)(x-1)-27(x-1)3=0,(x-1)(8x2-12x-9(x-1)2)=0,(x-1)(-x2+6x-9)=0.
Az egyenlet megoldásai: x1=1, x2=3.
 
3. Alkalmazzuk az loguv=1logvu (u>0, u1, v>0, v1) és az loguv1+loguv2=loguv1v2 (u>0, u1, v1>0, v2>0) azonosságokat:
logaxlogbx+logbxlogcx+logcxlogax=logxc+logxa+logxblogxalogxblogxc==logaxlogbxlogcxlogxabc.

 
4. x2-x+1>0, x2+x+1>0 és 4x2+3>0 minden valós x-re (x2-x+1=(x-12)2+34, x2+x+1=(x+12)2+34), és 4x2+3>x2-x+1 minden valós x-re, hiszen 3x2+x+2=3(x+16)2+2312; hasonlóan 4x2+3>x2+x+1 minden valós x-re. A három adott kifejezésnek tehát minden valós x-re van értelme, és közülük 4x2+3 a legnagyobb.
A háromszög akkor létezik, ha teljesülnek a háromszög-egyenlőtlenség feltételei, azaz ha
x2-x+1+x2+x+1>4x2+3.
Mivel mindkét oldal pozitív, azért ez az egyenlőtlenség ekvivalens a következő, négyzetre emeléssel kapott egyenlőtlenségekkel:
2x2+2+2(x2+1)2-x2>4x2+3,2x4+x2+1>2x2+1,4x2+4x2+4>4x4+4x2+1.

Mivel ez utóbbi minden valós x-re teljesül, azért a háromszögek minden valós x esetén léteznek. E háromszögek területe független x-től, hiszen
16T2=4a2b2-(a2+b2-c2)2,16T2=4(x2-x+1)(x2+x+1)-(2x2+2-4x2-3),16T2=4(x4+x2+1)-(4x4+4x2+1),16T2=3,T=34területegység.azaz


Rábai Imre