A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az évente megrendezett rangos erdélyi verseny feladataiból az alábbiakban közlünk néhányat.
1. Igazoljuk, hogy az | | egyenletek közül legalább az egyiknek van valós gyöke, ha , és nullától különböző valós számok.
2. Legyenek , , , , , rendre az , , , , , háromszögek súlypontjai. Bizonyítsuk be, hogy a és az háromszögek súlypontja egybeesik.
Longávez Lajos, Nagybánya |
3. a) Bizonyítsuk be, hogy osztható -tel bármely esetén. b) Határozzuk meg azokat az természetes számokat, amelyekre bármely esetén osztható -val, ahol egy rögzített természetes szám.
Dáné Károly és Kosztolányi József |
4. Egy táblára felírtuk a természetes számokat -től -ig. Egy lépésben a táblán levő számok közül letörlünk kettőt, és helyettük a különbségük abszolút értékét írjuk. Bizonyítsuk be, hogy lépés után egy páros szám marad a táblán.
1. a) Bizonyítsuk be, hogy ha az , , , , , , , pozitív valós számok szorzata , akkor . b) Adott az valós szám. Határozzuk meg az , , , -nél nagyobb valós számokat, amelyekre | |
2. a) Határozzuk meg azokat a , komplex számokat, amelyekre egyszerre teljesülnek a következő feltételek: ; és valós számok. b) Adott az és a halmaz, ahol -nél nagyobb rögzített természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy | |
Bíró Béla és Bencze Mihály |
3. Jelölje , illetve a hegyesszögű háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, , , pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól mért távolságát. Bizonyítsuk be, hogy a) . b) , ahol a háromszög félkerülete.
4. Egy táblára felírtuk a páratlan természetes számokat -től -ig. Egy lépésben a táblán levő számok közül letörlünk egy és egy számot, és helyettük vagy az , vagy a különbséget írjuk. Elérhető-e, hogy néhány lépés után a táblán szereplő összes szám legyen?
1. a) Az sorozatot így értelmezzük: | | Határozzuk meg a sorozat általános tagjának képletét n függvényében. 1.b) Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségrendszert: | {2x1-3x2+x3≥0,2x2-3x3+x4≥0,..........2xn-1-3xn+x1≥0,2xn-3x1+x2≥0. |
2. Elhelyezhető-e a térben 11 pont úgy, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma 53 legyen? És 54?
Dáné Károly és Száva Róbert |
3. Egy sakktábla minden mezőjéhez hozzárendelünk két számot, az első szám azt mutatja, hogy az illető mező a tábla hányadik sorában van, míg a második azt, hogy hányadik oszlopában. Elhelyeztünk nyolc bástyát a táblán úgy, hogy ne legyen köztük kettő, amely üti egymást. Az egyes bástyákat tartalmazó mezőkhöz rendelt számokat összeszoroztuk, majd az így kapott nyolc szorzatot összeadtuk, és eredményül 120-at kaptunk. Ezután a bástyákat levettük a tábláról. Meg lehet-e határozni azokat a mezőket, amelyeken a bástyák álltak? Hány megoldás van?
Dávid Géza, Székelyudvarhely |
|