Kezdőlap


Cím:	IX. Székely Mikó Matematikaverseny 2001. február 17.
Füzet:	2001/április, 203 - 205. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az évente megrendezett rangos erdélyi verseny feladataiból az alábbiakban közlünk néhányat.

IX. osztály

1. Igazoljuk, hogy az

\begin{matrix} \begin{matrix} a x^{2} + 2 \sqrt[]{3} b c x + b c (a + b + c) & = 0, \\ b x^{2} + 2 \sqrt[]{3} c a x + c a (a + b + c) & = 0, \\ c x^{2} + 2 \sqrt[]{3} a b x + a b (a + b + c) & = 0 & és \end{matrix} \end{matrix}

egyenletek közül legalább az egyiknek van valós gyöke, ha

a

b

és

c

nullától különböző valós számok.

Bencze Mihály, Brassó

2. Legyenek

G_{1}

G_{2}

G_{3}

E_{1}

E_{2}

E_{3}

rendre az

A_{1} B_{1} C_{1}

A_{2} B_{2} C_{2}

A_{3} B_{3} C_{3}

A_{1} A_{2} A_{3}

B_{1} B_{2} B_{3}

C_{1} C_{2} C_{3}

háromszögek súlypontjai. Bizonyítsuk be, hogy a

G_{1} G_{2} G_{3}

és az

E_{1} E_{2} E_{3}

háromszögek súlypontja egybeesik.

Longávez Lajos, Nagybánya

3. a) Bizonyítsuk be, hogy

2^{n + 2} \cdot 3^{n} + 5 n - 4

osztható

25

-tel bármely

n \in N

esetén.

b) Határozzuk meg azokat az

a

természetes számokat, amelyekre bármely

n \in N^{*} = N ∖ {0}

esetén

(a - 1) \cdot {(a + 1)}^{n} + a (n - 1) + 1

osztható

k

-val, ahol

k \geq 1

egy rögzített természetes szám.

Dáné Károly és Kosztolányi József

4. Egy táblára felírtuk a természetes számokat

1

-től

(4 n - 1)

-ig. Egy lépésben a táblán levő számok közül letörlünk kettőt, és helyettük a különbségük abszolút értékét írjuk. Bizonyítsuk be, hogy

4 n - 2

lépés után egy páros szám marad a táblán.

Bege Antal, Kolozsvár

X. osztály

1. a) Bizonyítsuk be, hogy ha az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

b_{1}

b_{2}

...

b_{n}

pozitív valós számok szorzata

1

, akkor

(a_{1} + b_{1}) \cdot (a_{2} + b_{2}) \cdot ... \cdot (a_{n} + b_{n}) \geq 2^{n}

b) Adott az

a > 1

valós szám. Határozzuk meg az

x_{1}

x_{2}

...

x_{100}

1

-nél nagyobb valós számokat, amelyekre

\begin{matrix} {\begin{matrix} log_{a} x_{1} + log_{x_{2}} a & = 4, \\ log_{a} x_{2} + log_{x_{3}} a & = 1, \\ ..... & ..... \\ log_{a} x_{99} + log_{x_{100}} a & = 4, \\ log_{a} x_{100} + log_{x_{1}} a & = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Bege Antal, Kolozsvár

2. a) Határozzuk meg azokat a

z_{1}

z_{2}

komplex számokat, amelyekre egyszerre teljesülnek a következő feltételek:

(1) | z_{1} | = | z_{2} | \neq 0

;

(2) z_{1} + \frac{1}{z_{2}}

és

z_{2} + \frac{1}{z_{1}}

valós számok.

b) Adott az

A = {z \in C | | z | = 1}

és a

B = {z \in C | | z | \leq 2^{n}}

halmaz, ahol

n

1

-nél nagyobb rögzített természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} B = {z_{1} + z_{2} + ... + z_{2^{n}} | z_{1}, z_{2}, ..., z_{2^{n}} \in A} . \end{matrix}

Bíró Béla és Bencze Mihály

3. Jelölje

R

, illetve

r

a hegyesszögű háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát,

d_{a}

d_{b}

d_{c}

pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól mért távolságát. Bizonyítsuk be, hogy
a)

d_{a} + d_{b} + d_{c} = R + r

.
b)

\frac{a^{2}}{d_{a}} + \frac{b^{2}}{d_{b}} + \frac{c^{2}}{d_{c}} \geq \frac{4 s^{2}}{R + r}

, ahol

s

a háromszög félkerülete.

4. Egy táblára felírtuk a páratlan természetes számokat

1

-től

4 n

-ig. Egy lépésben a táblán levő számok közül letörlünk egy

a

és egy

b

számot, és helyettük vagy az

a - 3 b

, vagy a

b - 3 a

különbséget írjuk. Elérhető-e, hogy néhány lépés után a táblán szereplő összes szám

0

legyen?

Bege Antal, Kolozsvár

XI. vagy XII. osztály

1. a) Az

(a_{n})

n \geq 1

sorozatot így értelmezzük:

\begin{matrix} a_{1} = 1, a_{2} = 2 és a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}, bármelyn \in N,n \geq 1esetén . \end{matrix}

Határozzuk meg a sorozat általános tagjának képletét

n

függvényében.

b) Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségrendszert:

\begin{matrix} {\begin{matrix} 2 x_{1} - 3 x_{2} + x_{3} & \geq 0, \\ 2 x_{2} - 3 x_{3} + x_{4} & \geq 0, \\ ..... & ..... \\ 2 x_{n - 1} - 3 x_{n} + x_{1} & \geq 0, \\ 2 x_{n} - 3 x_{1} + x_{2} & \geq 0. \end{matrix} \end{matrix}

2. Elhelyezhető-e a térben

11

pont úgy, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma

53

legyen? És

54

Dáné Károly és Száva Róbert

3. Egy sakktábla minden mezőjéhez hozzárendelünk két számot, az első szám azt mutatja, hogy az illető mező a tábla hányadik sorában van, míg a második azt, hogy hányadik oszlopában. Elhelyeztünk nyolc bástyát a táblán úgy, hogy ne legyen köztük kettő, amely üti egymást. Az egyes bástyákat tartalmazó mezőkhöz rendelt számokat összeszoroztuk, majd az így kapott nyolc szorzatot összeadtuk, és eredményül

120

-at kaptunk. Ezután a bástyákat levettük a tábláról. Meg lehet-e határozni azokat a mezőket, amelyeken a bástyák álltak? Hány megoldás van?

Dávid Géza, Székelyudvarhely