Cím: IX. Székely Mikó Matematikaverseny 2001. február 17.
Füzet: 2001/április, 203 - 205. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az évente megrendezett rangos erdélyi verseny feladataiból az alábbiakban közlünk néhányat.

 
 
IX. osztály
 


 
1. Igazoljuk, hogy az
ax2+23bcx+bc(a+b+c)=0,bx2+23cax+ca(a+b+c)=0,cx2+23abx+ab(a+b+c)=0és
egyenletek közül legalább az egyiknek van valós gyöke, ha a, b és c nullától különböző valós számok.
 Bencze Mihály, Brassó

 
2. Legyenek G1, G2, G3, E1, E2, E3 rendre az A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, A1A2A3, B1B2B3, C1C2C3 háromszögek súlypontjai. Bizonyítsuk be, hogy a G1G2G3 és az E1E2E3 háromszögek súlypontja egybeesik.
 Longávez Lajos, Nagybánya

 
3. a) Bizonyítsuk be, hogy 2n+23n+5n-4 osztható 25-tel bármely nN esetén.
3.b) Határozzuk meg azokat az a természetes számokat, amelyekre bármely nN*=N{0} esetén (a-1)(a+1)n+a(n-1)+1 osztható k-val, ahol k1 egy rögzített természetes szám.
 Dáné Károly és Kosztolányi József 

 
4. Egy táblára felírtuk a természetes számokat 1-től (4n-1)-ig. Egy lépésben a táblán levő számok közül letörlünk kettőt, és helyettük a különbségük abszolút értékét írjuk. Bizonyítsuk be, hogy 4n-2 lépés után egy páros szám marad a táblán.
 Bege Antal, Kolozsvár

 
 
X. osztály
 
 

 
1. a) Bizonyítsuk be, hogy ha az a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn pozitív valós számok szorzata 1, akkor (a1+b1)(a2+b2)...(an+bn)2n.
1.b) Adott az a>1 valós szám. Határozzuk meg az x1, x2, ..., x100  1-nél nagyobb valós számokat, amelyekre
{logax1+logx2a=4,logax2+logx3a=1,..........logax99+logx100a=4,logax100+logx1a=1.
 
 Bege Antal, Kolozsvár

 
2. a) Határozzuk meg azokat a z1, z2 komplex számokat, amelyekre egyszerre teljesülnek a következő feltételek:
(1)|z1|=|z2|0;
(2)z1+1z2 és z2+1z1 valós számok.
1.b) Adott az A={zC||z|=1} és a B={zC||z|2n} halmaz, ahol n  1-nél nagyobb rögzített természetes szám. Bizonyítsuk be, hogy
B={z1+z2+...+z2n|z1,z2,...,z2nA}.

 Bíró Béla és Bencze Mihály 

 
3. Jelölje R, illetve r a hegyesszögű háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, da, db, dc pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól mért távolságát. Bizonyítsuk be, hogy
a) da+db+dc=R+r.
b) a2da+b2db+c2dc4s2R+r, ahol s a háromszög félkerülete.
 
4. Egy táblára felírtuk a páratlan természetes számokat 1-től 4n-ig. Egy lépésben a táblán levő számok közül letörlünk egy a és egy b számot, és helyettük vagy az a-3b, vagy a b-3a különbséget írjuk. Elérhető-e, hogy néhány lépés után a táblán szereplő összes szám 0 legyen?
 Bege Antal, Kolozsvár

 
 
XI. vagy XII. osztály
 
 

 
1. a) Az (an) n1 sorozatot így értelmezzük:
a1=1,a2=2ésan+2=3an+1-2an,bármely  nN,  n1  esetén.
Határozzuk meg a sorozat általános tagjának képletét n függvényében.
1.b) Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenségrendszert:
{2x1-3x2+x30,2x2-3x3+x40,..........2xn-1-3xn+x10,2xn-3x1+x20.

 
2. Elhelyezhető-e a térben 11 pont úgy, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma 53 legyen? És 54?
 Dáné Károly és Száva Róbert 

 
3. Egy sakktábla minden mezőjéhez hozzárendelünk két számot, az első szám azt mutatja, hogy az illető mező a tábla hányadik sorában van, míg a második azt, hogy hányadik oszlopában. Elhelyeztünk nyolc bástyát a táblán úgy, hogy ne legyen köztük kettő, amely üti egymást. Az egyes bástyákat tartalmazó mezőkhöz rendelt számokat összeszoroztuk, majd az így kapott nyolc szorzatot összeadtuk, és eredményül 120-at kaptunk. Ezután a bástyákat levettük a tábláról. Meg lehet-e határozni azokat a mezőket, amelyeken a bástyák álltak? Hány megoldás van?

 Dávid Géza, Székelyudvarhely