A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az Egyesült Államokban és Kanadában 1938 óta évente megrendezett főiskolai verseny feladatai a következők voltak:
A1. Legyen pozitív valós szám. Melyek a összegek lehetséges értékei, ha tudjuk, hogy , , , olyan valós számok, amelyekre teljesül?
A2. Igazolja, hogy végtelen sok olyan egész létezik, amelyre , és egyaránt felírható két négyzetszám összegeként. (Például: , és .)
A3. A húrnyolcszög csúcspontjai az adott sorrendben következnek egymás után a kör kerületén. Tudjuk, hogy a négyszög négyzet, amelynek a területe területegység, a négyszög pedig téglalap, amelynek a területe területegység. Legfeljebb mekkora lehet a nyolcszög területe?
A4. Igazolja, hogy a improprius integrálnak létezik határértéke.
A5. Három különböző, egész koordinátájú pont egy sugarú kör kerületén helyezkedik el. Igazolja, hogy közülük két pontot kiválasztva, azok távolsága legalább .
A6. Legyen egész együtthatós polinom, , , pedig olyan egész elemű sorozat, amelyre és , ha . Igazolja, hogy ha van olyan pozitív egész , amelyre , akkor vagy , vagy .
B1. Legyenek , és olyan egész számok (), hogy bármely esetén , és közül legalább az egyik páratlan. Mutassuk meg, hogy ekkor léteznek olyan , és egész számok, hogy páratlan legalább esetben a () értékei közül.
B2. Mutassuk meg, hogy minden esetén egész, ahol és az és legnagyobb közös osztója.
B3. Legyen ahol mindegyik valós, és . Jelölje az -adik deriváltját, a gyökeinek számát (multiplicitással), Mutassuk meg, hogy | |
B4. Legyen olyan folytonos függvény, amelyre minden esetén teljesül, hogy . Bizonyítsuk be, hogy , ha .
B5. Legyen pozitív egészekből álló véges halmaz. A következőképpen definiáljuk az , , halmazokat: Egy egész szám pontosan akkor eleme -nek, ha és közül pontosan az egyik benne van -ben. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan egész szám van, amelyre .
B6. Legyen olyan halmaz, amely több, mint különböző koordinátájú pontot tartalmaz az -dimenziós térben (). Mutassuk meg, hogy van különböző -beli pont, amelyek egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai.
|