Cím: William Lowell PUTNAM Matematikaverseny 2000. december 2.
Füzet: 2001/április, 199 - 200. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Egyesült Államokban és Kanadában 1938 óta évente megrendezett főiskolai verseny feladatai a következők voltak:


 
A1. Legyen A pozitív valós szám. Melyek a j=0xj2 összegek lehetséges értékei, ha tudjuk, hogy x0, x1, x2, ... olyan valós számok, amelyekre j=0xj=A teljesül?

 
A2. Igazolja, hogy végtelen sok olyan n egész létezik, amelyre n, n+1 és n+2 egyaránt felírható két négyzetszám összegeként.
(Például: 0=02+02, 1=02+12 és 2=12+12.)
 
A3. A P1P2P3P4P5P6P7P8 húrnyolcszög csúcspontjai az adott sorrendben következnek egymás után a kör kerületén. Tudjuk, hogy a P1P3P5P7 négyszög négyzet, amelynek a területe 5 területegység, a P2P4P6P8 négyszög pedig téglalap, amelynek a területe 4 területegység. Legfeljebb mekkora lehet a nyolcszög területe?
 
A4. Igazolja, hogy a
limB0Bsin(x)sin(x2)dx
improprius integrálnak létezik határértéke.
 
A5. Három különböző, egész koordinátájú pont egy r>0 sugarú kör kerületén helyezkedik el. Igazolja, hogy közülük két pontot kiválasztva, azok távolsága legalább r1/3.
 
A6. Legyen f(x) egész együtthatós polinom, a0, a1, ... pedig olyan egész elemű sorozat, amelyre a0=0 és an+1=f(an), ha n0. Igazolja, hogy ha van olyan pozitív egész m, amelyre am=0, akkor vagy a1=0, vagy a2=0.
 
B1. Legyenek aj, bj és cj olyan egész számok (1jN), hogy bármely j esetén aj, bj és cj közül legalább az egyik páratlan. Mutassuk meg, hogy ekkor léteznek olyan r, s és t egész számok, hogy raj+sbj+tcj páratlan legalább 4N7 esetben a j (1jN) értékei közül.
 
B2. Mutassuk meg, hogy (m,n)n(nm) minden nm1 esetén egész, ahol (nm)=n!m!(n-m)! és (n,m) az m és n legnagyobb közös osztója.
 
B3. Legyen
f(t)=j=1Najsin(2πjt),
ahol mindegyik aj valós, és aN0. Jelölje dkfdtk az f  k-adik deriváltját, Nk a dkfdtk gyökeinek számát (multiplicitással), Mutassuk meg, hogy
N0N1N2...éslimkNk=2N.

 
B4. Legyen f(x) olyan folytonos függvény, amelyre minden x esetén teljesül, hogy f(2x2-1)=2xf(x). Bizonyítsuk be, hogy f(x)=0, ha -1x1.
 
B5. Legyen S0 pozitív egészekből álló véges halmaz. A következőképpen definiáljuk az S1, S2, ... halmazokat: Egy a egész szám pontosan akkor eleme Sn+1-nek, ha a és a-1 közül pontosan az egyik benne van Sn-ben. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan N egész szám van, amelyre Sn=S0{N+a:aS0}.
 
B6. Legyen B olyan halmaz, amely több, mint 2n+1n különböző (±1,±1,...,±1) koordinátájú pontot tartalmaz az n-dimenziós térben (n3). Mutassuk meg, hogy van 3 különböző B-beli pont, amelyek egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai.