A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Ha a munkások számának növekedése , akkor a termelés növekedése . Így | | Legyen . Ekkor , , . Csak ad megoldást, ekkor , . A munkások száma 10%-kal, az egy főre jutó termelés pedig 15%-kal nőtt.
2. Legyen . Ekkor és , ahonnan vagy , , . és ismeretében a (illetve ) felezőpontja , így , . Az háromszög területét megkapjuk, ha az trapéz területéből ( a merőleges vetülete az -tengelyen, , az origó) kivonjuk az és az derékszögű háromszögek területének összegét. | | Az háromszög területét megkapjuk, ha a háromszög területéhez hozzáadjuk az trapéz területét ( a pont vetülete az tengelyen, ), és az összegből kivonjuk a háromszög területét. | |
3. a) és . minden megengedett -re, tehát . b) Ha , akkor , , tehát ; ha , akkor , , tehát ; ha , akkor , , tehát . A kifejezés akkor pozitív, ha vagy . (A kifejezés grafikonjának elkészítésével grafikusan is megoldható a feladat.) c) és , tehát . (Az függvény szigorúan monoton növekedő!) | |
4. a) Az sorozat első tagjának összege . Mivel , azért | | Így és , azaz valóban számtani sorozat. A sorozat is számtani, hiszen | |
b) A sorozat első tagja , így első tagjának összege c) ; a sorozat első tagjának összege . | |
5. Az egyenletnek nincs értelme, ha , így , , . Mivel és , azért a törtet egyszerűsíthetjük -szel; szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -szel, majd nullára rendezés után alakítsunk szorzattá. | | Ha , akkor , , , és ezek az adott egyenlet megoldásai,
ha , akkor az egyenlet mindkét oldalát elosztva -vel a egyenlethez jutunk. Tehát a további megoldások: , és , .
6. Mivel a feladat csak szöget kérdez, vehetünk az adott alakzathoz hasonlót. Így a szóban forgó oldal két része legyen és 1 egység. A magasság a -os szöget két részre osztja, és ; a -résznél legyen az szög. Ekkor a szóban forgó magasság egyrészt , másrészt , tehát . Legyen ; . | | Az egyenlet diszkriminánsa . Most , ezért , , , . A magasság a -os szöget és -ra osztja. (Más módon is számolhatunk. Hogyan?)
7. Az egyenlet gyökei pontosan akkor valósak, ha a diszkriminánsa nemnegatív. | |
a) A két gyök akkor egyenlő, ha a diszkrimináns nulla. D=0, ha p=12 vagy p=1, az első esetben x2+2x+1=0, x1=x2=-1, a második esetben p=1, x2+4x+4=0, x1=x2=-2. b) D≥0 és x1x2=1, 2p2+3p-1=1, p=-2 vagy p=12, x2-8x+1=0, x1=4+15, x2=4-15; x2+2x+1=0, x1=x2=-1. c) x2=2x1; x1+x2=-4p, x1x2=2p2+3p-1, innen 14p2-27p+9=0, p=32 vagy p=37.
Ha p=32, akkor x2+6x+8=0, x1=-2, x2=-4, ha p=37, akkor x2+127x+327=0, x1=-47, x2=-87. d) A p↦2p2+3p-1 függvény minimumát keressük, ha p≤12 vagy p≥1. 2p2+3p-1≡2(p+34)2-178. Mivel p=-23<12, azért a gyökök szorzata akkor minimális, ha p=-34, és ekkor x1x2=-178.
8. A vágások száma legyen k, illetve n, k≤n. A ,,jó'' darabok száma (k-1)(n-1), a ,,rossz'' darabok száma 2(k+1)+2(n-1)=2k+2n. (A rossz darabok száma más módokon is kifejezhető: 2(k+1)+2(n+1)-4 vagy (k+1)(n+1)-(k-1)(n-1).) A feltétel szerint: | (k-1)(n-1)=4(k+n),kn-5k-5n+1=0,k(n-5)-5(n-5)=25-1,(k-5)(n-5)=24. | 24 a következő egész számok szorzataként állítható elő: 1⋅24; 2⋅12; 3⋅8; 4⋅6 és (-24)⋅(-1); (-12)⋅(-2); (-8)⋅(-3); (-6)⋅(-4). k-5≤n-5 miatt csak ezek az esetek fordulhatnak elő. Mivel k és n pozitív egész szám, azért k-5 nem lehet sem -24, sem -12, sem -8, sem -6, mert akkor k nem lenne pozitív.
k-5=1, k=6, n-5=24, n=9, és ekkor 140 ,,jó'', 70 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 70; vagy
k-5=2, k=7, n-5=12, n=7, és ekkor 96 ,,jó'', 48 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 48; vagy
k-5=3, k=8, n-5=8, n=13, és ekkor 84 ,,jó'', 42 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 42; vagy
k-5=4, k=9, n-5=6, n=11, és ekkor 80 ,,jó'', 40 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 40.
|
|