Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a II. mérőlap (2000/9. sz.) feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2001/január, 21 - 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Ha a munkások számának növekedése 2p%, akkor a termelés növekedése 3p%. Így
(1+2p100)(1+3p100)=1,265.
Legyen p100=x. Ekkor 6x2+5x-0,265=0, x1=0,05, x2=-10,612. Csak x1 ad megoldást, ekkor 5100=p100, p=5. A munkások száma 10%-kal, az egy főre jutó termelés pedig 15%-kal nőtt.
 
2. Legyen B(b;0). Ekkor AB2=62+b2 és 62+b2=102, ahonnan b=8 vagy b=-8, B1(8;0), B2(-8;0).
A és S ismeretében a B1C1 (illetve B2C2) felezőpontja A'(6;6), így C1(4;12), C2(20;12). Az AB1C1 háromszög területét megkapjuk, ha az OBCC¯ trapéz területéből (C¯ a C1 merőleges vetülete az y-tengelyen, C¯(0;12), O az origó) kivonjuk az OB1A és az AC1C¯ derékszögű háromszögek területének összegét.
T1=8+4212-862-462=36területegység.
Az AB2C2 háromszög területét megkapjuk, ha a B2OA háromszög területéhez hozzáadjuk az ODC2A trapéz területét (D a C2 pont vetülete az x tengelyen, D(20;0)), és az összegből kivonjuk a B2C2D háromszög területét.
T2=862+6+12220-28122=36területegység.

 
3. a) x2 és x-2. x4-16x2-4=x2+4>0 minden megengedett x-re, tehát xR{-2;2}.
b) Ha x>2, akkor x+2-(x-2)-x>0, x<4, tehát 2<x<4
ha -2x2, akkor x+2+x-2-x>0, x>0, tehát 0<x2
ha x<-2, akkor -x-2+x-2-x>0, x<-4, tehát x<-4.
A kifejezés akkor pozitív, ha x<-4 vagy 0<x<4. (A kifejezés grafikonjának elkészítésével grafikusan is megoldható a feladat.)
c) sin2x>0 és log2sin2x>-1, tehát sin2x>12. (Az xlog2x függvény szigorúan monoton növekedő!)
π6+2kπ<2x<5π6+2kπ,π12+kπ<x<5π12+kπ,xZ.

 
4. a) Az (an) sorozat első (n-1) tagjának összege Sn-1=2(n-1)2+3(n-1). Mivel an=Sn-Sn-1, azért
an=2n2+3n-(2(n-1)2+3(n-1))=4n+1.
Így an-1=4(n-1)+1 és an-an-1=4, azaz (an) valóban számtani sorozat. A (bn) sorozat is számtani, hiszen
bn-bn-1=4n-1-(4(n-1)-1)=4.

b) A (bn) sorozat első tagja b1=3, így első n tagjának összege
Sn'=3+4n-12n,Sn'=2n2+n.

c) cn=(4n+1)+(4n-1)=8n; a cn sorozat első n tagjának összege Sn''.
Sn''=8(1+2+...+n)=8n(n+1)2,Sn''=4n2+4n.

 
5. Az egyenletnek nincs értelme, ha sin2x=-1, így 2x3π2+2kπ, x3π4+kπ, kZ.
Mivel cos2x=cos2x-sin2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx) és 1+sin2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(cosx+sinx)2, azért a törtet egyszerűsíthetjük (cosx+sinx)-szel; szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (cosx+sinx)-szel, majd nullára rendezés után alakítsunk szorzattá.
(cosx-sinx)(cosx+sinx)-(cosx-sinx)=0,(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)=0.
Ha cosx-sinx=0, akkor tgx=1, xn=π4+nπ, nZ, és ezek az adott egyenlet megoldásai,

ha cosx+sinx=1, akkor az egyenlet mindkét oldalát elosztva 2-vel a sin(x+π4)=12 egyenlethez jutunk. Tehát a további megoldások: xk=2kπ, kZ és xm=π2+2mπ, mZ.
 
6. Mivel a feladat csak szöget kérdez, vehetünk az adott alakzathoz hasonlót. Így a szóban forgó oldal két része legyen 3 és 1 egység. A magasság a 75-os szöget két részre osztja, α és 75-α; a 3-résznél legyen az α szög. Ekkor a szóban forgó magasság egyrészt 3tgα, másrészt 1tg(75-α), tehát tgα=3tg(75-α). Legyen tgα=t; tg75=2+3.
t=32+3-t1+(2+3)t,(2+3)t2+(1+3)t-(23+3)=0.
Az egyenlet diszkriminánsa D=...=(5+33)2. Most t>0, ezért tgα=-1-3+(5+33)2(2+3), tgα=1, α=45, 75-α=30. A magasság a 75-os szöget 45 és 30-ra osztja.
(Más módon is számolhatunk. Hogyan?)
 
7. Az egyenlet gyökei pontosan akkor valósak, ha a diszkriminánsa nemnegatív.
D=16p2-4(2p2+3p-1)=8(p-1)(p-12)0,ha  p12  vagy  p1.

a) A két gyök akkor egyenlő, ha a diszkrimináns nulla. D=0, ha p=12 vagy p=1, az első esetben x2+2x+1=0, x1=x2=-1, a második esetben p=1, x2+4x+4=0, x1=x2=-2.
b) D0 és x1x2=1, 2p2+3p-1=1, p=-2 vagy p=12, x2-8x+1=0, x1=4+15, x2=4-15; x2+2x+1=0, x1=x2=-1.
c) x2=2x1;  x1+x2=-4p, x1x2=2p2+3p-1, innen 14p2-27p+9=0, p=32 vagy p=37.

Ha p=32, akkor x2+6x+8=0, x1=-2, x2=-4
ha p=37, akkor x2+127x+327=0, x1=-47, x2=-87.
d) A p2p2+3p-1 függvény minimumát keressük, ha p12 vagy p1. 2p2+3p-12(p+34)2-178.
Mivel p=-23<12, azért a gyökök szorzata akkor minimális, ha p=-34, és ekkor x1x2=-178.
 
8. A vágások száma legyen k, illetve n, kn. A ,,jó'' darabok száma (k-1)(n-1), a ,,rossz'' darabok száma 2(k+1)+2(n-1)=2k+2n. (A rossz darabok száma más módokon is kifejezhető: 2(k+1)+2(n+1)-4 vagy (k+1)(n+1)-(k-1)(n-1).)
A feltétel szerint:
(k-1)(n-1)=4(k+n),kn-5k-5n+1=0,k(n-5)-5(n-5)=25-1,(k-5)(n-5)=24.
24 a következő egész számok szorzataként állítható elő: 124; 212; 38; 46 és (-24)(-1); (-12)(-2); (-8)(-3); (-6)(-4). k-5n-5 miatt csak ezek az esetek fordulhatnak elő. Mivel k és n pozitív egész szám, azért k-5 nem lehet sem -24, sem -12, sem -8, sem -6, mert akkor k nem lenne pozitív.

k-5=1, k=6, n-5=24, n=9, és ekkor 140 ,,jó'', 70 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 70; vagy

k-5=2, k=7, n-5=12, n=7, és ekkor 96 ,,jó'', 48 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 48; vagy

k-5=3, k=8, n-5=8, n=13, és ekkor 84 ,,jó'', 42 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 42; vagy

k-5=4, k=9, n-5=6, n=11, és ekkor 80 ,,jó'', 40 ,,rossz'' sütemény keletkezik, az adagok száma 40.
Rábai Imre