Cím:	Megjegyzés a B. 3343. feladathoz
Szerző(k):	Ambrus Gabriella
Füzet:	2001/január, 24. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   B. 3343. Az $ABC$ háromszög $AB$ oldalának felezőpontja $F$. Az $AFC$ háromszög súlypontja $S_1$, a $BFC$ háromszög súlypontja $S_2$. Az $A{S}_1$ egyenes a $BC$ oldalt a $P_1$ pontban, a $B{S}_2$ egyenes az $AC$ oldalt a $P_2$ pontban metszi. Igazoljuk, hogy az $S_1{S}_2{P}_1{P}_2$ négyszög paralelogramma. A feladatra a 2000/7. szám 414‐415. oldalán két megoldást közöltünk, egyikük a Menelaos-tétel, a másik pedig vektorok felhasználásával bizonyította be az állítást. Örömmel közöljük az alábbi elemi megoldást, amit egyik olvasónk talált; egyúttal arra biztatunk mindenkit, ne tekintse lezártnak egy feladat sorsát a megoldás megjelenésével. Ha $M$ a $CF$ szakasz felezőpontja, akkor $S_1$ és $S_2$ harmadolják az $MA$, illetve $MB$ súlyvonalakat, így $S_1{S}_2$ párhuzamos $AB$-vel és annak harmada (1. ábra). Az állítás így következik abból, ha belátjuk, hogy ugyanez $P_1{P}_2$-re is teljesül. Ehhez elegendő, ha megmutatjuk, hogy $P_1$ és $P_2$ harmadolópontok a megfelelő oldalakon. Ha találunk olyan háromszöget, amelyben $CB$ súlyvonal és $P_1$ súlypont, akkor készen vagyunk. Tükrözzük az $A$ csúcsot a $C$-re, a tükörkép legyen $A\text{'}$ (2. ábra). Az $ABA\text{'}$ háromszög $B$-ből induló súlyvonala $BC$. $C$ és $F$ felezőpontok az $AA\text{'}$, illetve az $AB$ oldalakon, így a $CF$ középvonal párhuzamos $A\text{'}B$-vel, az $AM$ egyenes tehát az $A\text{'}AB$ háromszögben is súlyvonal. A két súlyvonal, $AM$ és $BC$ metszéspontja, $P_1$ tehát valóban az $ABA\text{'}$ háromszög súlypontja, így harmadolja a $BC$ szakaszt. A $P_2$ pontról ugyanígy igazolható, hogy harmadolja $AC$-t.      Ambrus Gabriella ELTE TFK matematika tanszék