Cím: Megjegyzés a B. 3343. feladathoz
Szerző(k):  Ambrus Gabriella 
Füzet: 2001/január, 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
B. 3343. Az ABC háromszög AB oldalának felezőpontja F. Az AFC háromszög súlypontja S1, a BFC háromszög súlypontja S2. Az AS1 egyenes a BC oldalt a P1 pontban, a BS2 egyenes az AC oldalt a P2 pontban metszi. Igazoljuk, hogy az S1S2P1P2 négyszög paralelogramma.
A feladatra a 2000/7. szám 414‐415. oldalán két megoldást közöltünk, egyikük a Menelaos-tétel, a másik pedig vektorok felhasználásával bizonyította be az állítást. Örömmel közöljük az alábbi elemi megoldást, amit egyik olvasónk talált; egyúttal arra biztatunk mindenkit, ne tekintse lezártnak egy feladat sorsát a megoldás megjelenésével.

Ha M a CF szakasz felezőpontja, akkor S1 és S2 harmadolják az MA, illetve MB súlyvonalakat, így S1S2 párhuzamos AB-vel és annak harmada (1. ábra). Az állítás így következik abból, ha belátjuk, hogy ugyanez P1P2-re is teljesül. Ehhez elegendő, ha megmutatjuk, hogy P1 és P2 harmadolópontok a megfelelő oldalakon.
Ha találunk olyan háromszöget, amelyben CB súlyvonal és P1 súlypont, akkor készen vagyunk.
Tükrözzük az A csúcsot a C-re, a tükörkép legyen A' (2. ábra). Az ABA' háromszög B-ből induló súlyvonala BC. C és F felezőpontok az AA', illetve az AB oldalakon, így a CF középvonal párhuzamos A'B-vel, az AM egyenes tehát az A'AB háromszögben is súlyvonal. A két súlyvonal, AM és BC metszéspontja, P1 tehát valóban az ABA' háromszög súlypontja, így harmadolja a BC szakaszt. A P2 pontról ugyanígy igazolható, hogy harmadolja AC-t.
 
 
 Ambrus Gabriella
ELTE TFK matematika tanszék