Cím: Az 1999-2000. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 2000/november, 463 - 467. oldal  PDF file
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. kategória: Szakközépiskolák
 
Első (iskolai) forduló
 


 
1. Az x2+ax+1-b=0 egyenletben az a és a b paraméterek valós számok. Igazolja, hogy ha az egyenlet gyökei pozitív egész számok, akkor a2+b2 összetett szám.
 
2. Az ABC háromszög AC oldalának A-hoz közelebbi harmadolópontja B1, az AB oldal A-hoz közelebbi harmadolópontja C1. Legyen a D pont a BB1 szakasz, az E pont pedig a CC1 szakasz felezőpontja, továbbá az ABC háromszög területe T. Bizonyítsa be, hogy a DBCE négyszög területe 49T.
 
3. Az ABCD négyzet oldalai 10 cm hosszúak. Legyen az AB oldal felezőpontja E, a BC oldal felezőpontja F, az EF szakasz felezőpontja M. A DA szakaszon felveszünk egy N, az DC szakaszon egy P pontot úgy, hogy DN=DP teljesüljön. Hogyan kell az N és a P pontokat megválasztani, hogy az MNP háromszög területe a lehető legnagyobb legyen, és mekkora ez a terület?
 
4. Egy egyenlő szárú háromszög szögei α, β, γ. Mekkorák ezek a szögek, ha
sin2α+sin2β=sinγ.

 
5. Az ABC háromszög köré írható körhöz a B csúcsban érintőt húzunk, amely az A csúcstól 9 cm, a C csúcstól 25 cm távolságra halad. Milyen messze van a B csúcs az AC egyenestől?
 
6. Igazolja, hogy akárhogyan választunk is ki az első 1999 pozitív egész szám közül 1414 darabot, a kiválasztottak összege nem lehet egyenlő a ki nem választottak összegével!
 
 
Második forduló
 

 
1. Hányféleképpen kaphatunk összegül 2000-et, ha néhány darab (legalább 2) közvetlenül egymást követő pozitív egész számot adunk össze?
 
2. Az ABCD paralelogrammában AB:BC=3:2. A paralelogramma AB oldalát hosszabbítsuk meg a B csúcson túl AB-vel, a kapott pontot jelöljük E-vel. Hasonlóképpen a BC oldalt hosszabbítsuk meg a C-n túl BC-vel, a CD oldalt D-n túl CD-vel, a DA oldalt pedig A-n túl DA-val. A kapott pontokat jelöljük rendre F-fel, G-vel, H-val. Meg lehet-e választani az ABCD paralelogramma szögeit úgy, hogy az EFGH négyszög téglalap legyen? Ha igen, akkor mekkorák ezek a szögek?
 
3. Az x1 és az x2 a [0;12] intervallum olyan valós számai, amelyekre teljesül, hogy
x1x2=(12-x1)2(12-x2)2.
Határozza meg az x1x2 szorzat legnagyobb értékét!
 
4. Bizonyítsa be, hogy
lg1-lg2+lg3-lg4+...+lg99-lg100<-1.

 
5. Az ABCD egy olyan négyzet, amelynek oldalai 2 egység hosszúságúak. Az AB oldalon van egy E pont, az AD oldalon egy F pont úgy, hogy az AEF háromszög területe 23 területegységnyi, és az AEF háromszög kerülete pozitív egész szám. Mekkorák az AEF háromszög oldalai?

 
 
 
Harmadik (döntő) forduló
 

 
1. Milyen valós számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?
sin[π2cos(πx)]=cos[πsin(π2x)](1)

 
2. Határozza meg az összes olyan tízes számrendszerbeli háromjegyű számot, amelynek számjegyeire fennáll a
3a-b2c3-250c3a-b3=4(3a-b2c)23
egyenlőség!
 
3. Az ABCD konvex négyszög AB és CD szemközti oldalegyeneseinek metszéspontját jelöljük P-vel, az AD és a BC oldalegyeneseinek metszéspontját jelöljük Q-val. Az APD szögfelezője a BC oldalt az F, az AD oldalt a H pontban metszi. A BQA szögfelezője a CD oldalt a G, az AB oldalt az E pontban metszi.
Bizonyítsa be, hogy az EFGH négyszög akkor és csak akkor rombusz, ha az ABCD négyszög húrnégyszög!
 
 

 
II. kategória: Általános tantervű gimnáziumok
 
Első (iskolai) forduló
 

 
1. Adjuk meg azokat az a és b természetes számokat, amelyekre teljesülnek a következő feltételek:
(1) 90<a+b<100,(2) 0,9>ab<0,91.

 
2. Legyen an=5n+7n (n pozitív egész). Határozzuk meg a1999-nek 216-tal való osztásakor kapott maradékát.
 
3. Az A és a B helységek között a távolság 200 km. Egy egyenes vonalú vasútvonal A-n megy át, és a B-hez legközelebbi pontja a B-től 87 km-re levő C állomásnál van. A B helységet egy egyenes műútszakasszal akarják összekötni az AC vonalszakasz egy M pontjával úgy, hogy az áruszállítás A-ból M-be vasúton, onnan B-be pedig műúton a lehető legolcsóbb legyen; figyelembe véve, hogy a szállítás költsége kilométerenként a vasúton csak feleannyi, mint a műúton. Az A-tól milyen távolságra kell lennie ilyen feltételek mellett az M pontnak?

 
4. Legyen P az ABCD négyzet köré írt kisebbik AB ívének tetszőleges pontja. Bizonyítsuk be, hogy a
PA+PBPC+PD
hányados értéke minden P pontra (2-1)-gyel egyenlő.
 
5. Adott az a élhosszúságú ABCDA1B1C1D1 kocka; ABCD az alapnégyzete, és az AA1, BB1, CC1, DD1 élek párhuzamosak. Felveszünk az AA1 él A1-en túli meghosszabbításán egy P pontot és a BC él C-n túli meghosszabbításán egy Q pontot úgy, hogy a PQ szakasz a C1D1 élt egy R belső pontban metszi. Mekkora a PQ szakasz lehetséges legkisebb hossza?
 
 
 
Második forduló
 

 
1. Mely n egészekre lesz az
n4-4n3+14n2-20n+10
kifejezés értéke négyzetszám?
 
2. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapélének és magasságának a hossza egész szám. Mekkora a gúla térfogata, ha felszínének és térfogatának azonos a mérőszáma?
 
3. Igazoljuk, hogy az 1-nél kisebb a, b, c pozitív számokra teljesül a következő egyenlőtlenség:
loga3abcab+bc+ca+logb3abcab+bc+ca+logc3abcab+bc+ca3.

 
4. A T területű derékszögű háromszög beírt körébe egy t területű derékszögű háromszöget írunk be.
Mekkora lehet Tt legkisebb értéke?
 
 
 
Harmadik (döntő) forduló
 

 
1. Készítsünk egy 2000 darab valós számból álló H halmazt, amelynek egyik eleme sem nulla. Jelöljük k-val a H-ból kiválasztható olyan négyelemű részhalmazok számát, amelyekben a négy elem szorzata negatív. A H elemei közül hányat kell negatívnak választanunk ahhoz, hogy k értéke a lehető legnagyobb legyen?

 
2. Az ABC háromszög nem egyenlő szárú; a BC, CA, AB oldal felezőpontját jelölje rendre A1, B1, C1. A háromszög oldalain a C-ből az A-ba és onnan a B-be vezető út felezőpontja legyen A2, az A-ból a B-be és onnan a C-be vezető út felezőpontját jelölje B2, végül a B-ből a C-be és onnan az A-ba vezető út felezőpontja legyen C2. Bizonyítsuk be, hogy az A1A2, B1B2, C1C2 egyenesek egy ponton mennek át.
 
3. Az a1, a2, ..., an és b1, b2, ..., bk pozitív egészek; az a1+a2+...+an és a b1+b2+...+bk összegek egyenlők, és kisebbek nk-nál (n>1, k>1). Bizonyítsuk be, hogy az
a1+a2+...+an=b1+b2+...+bk
egyenlőségben szereplő mindkét összegből elhagyható néhány (de nem az összes) tag úgy, hogy az egyenlőség továbbra is fennálljon.
 
 
III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok
 
Első forduló
 

 
1. Az ABC háromszögnek van 60 fokos szöge, továbbá a félkerülete felírható
a2+b2+c2-2sc2c
alakban, ahol sc a c oldalhoz tartozó súlyvonal. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szabályos.
 
2. Jelöljük an-nel a n-hez legközelebbi egész számot. Számítsuk ki az
1a1+1a2+1a3...+1ak
összeget, ahol k=19992000.
 
3. Adjuk meg az összes olyan (pozitív) prímszámot, amelynek alkalmas (pozitív egész kitevős) hatványa felírható két pozitív egész szám köbének az összegeként.
 
4. Tegyük fel, hogy az ABCP tetraéderben a PA, PB és PC élek páronként merőlegesek. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a P csúcs rajta van azon az ellipszoidon, amely az ABC háromszög körülírt körére mint főkörre emelt gömbből az ABC síkra vonatkozó 12 arányú merőleges affinitással keletkezik. (Ezen transzformáció során a tér bármely pontja az ABC síkra merőleges irányban mozdul eI úgy, hogy a síktól mért távolsága 12-szeresére változik.)
 
5. Van-e olyan f(x) egész együtthatós, 1999-edfokú polinom, amelyre bármely n egész szám esetén az
f(n),f(f(n)),(f(f(f(n))),...
számok páronként relatív prímek?
 
 

 
Második (döntő) forduló
 

 
1. Mutassuk meg, hogy egy páratlan fokú, egész együtthatós polinomfüggvény grafikonjában csak véges sokszor fordulhat elő, hogy két (különböző) egész abszcisszájú pont távolsága egész szám.
 
2. Tekintsük azt a kört, amely áthalad azon a három ponton, ahol egy adott háromszög szögfelezői metszik a szemközti oldalakat. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög oldalegyenesei ebből a körből három olyan húrt metszenek ki, amelyek közül valamelyiknek a hossza egyenlő a másik kettő hosszának az összegével. (Ha a kör a háromszög oldalegyenesét nem metszi, hanem érinti, akkor a megfelelő húrt 0 hosszúságúnak vesszük.)
 
3. Legyenek k és t 1-nél nagyobb, relatív prím egészek. Az 1, 2, ..., n számok 12...n természetes sorrendjéből kiindulva tetszőleges két olyan elemet felcserélhetünk, amelyek különbsége k vagy t. Bizonyítsuk be, hogy ilyen lépések egymásutánjával akkor és csak akkor juthatunk el minden permutációhoz, ha nk+t-1.