Cím: Olimpiai válogatóverseny
Füzet: 2000/május, 276. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idén Dél-Korea rendezi a Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát. A magyar diákok felkészülését ‐ több, mint 40 éve ‐ Reiman István tanár úr irányítja. A felkészülés jegyében került sor március 16-án arra a versenyre, amelynek alapján összeállt az olimpiára készülő szűkebb keret, továbbá kijelölték a XI. magyar‐izraeli matematikaversenyen résztvevő négy magyar diákot, Csikvári Pétert (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 10. o.t.), Gyenes Zoltánt (Budapest, Apáczai Cs. J. Gimn., 12. o.t.), Vizer Mátét (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) és Zábrádi Gergelyt (Győr, Révai M. Gimn., 12. o.t.).
A válógatóverseny feladatai a következők voltak:

 
1. Az ABC háromszög beírt, illetve köréírt körének középpontja K, illetve O, magasságpontja M.
*a)Ha sinβ+sinγ=2sinα, mekkora a φ=AKO?
*b)Milyen összefüggésnek kell fennállnia a háromszög szögei között, ha az AMO az a) alatt értelmezett φ szöggel egyenlő?

 
2. Adott a síkon 10 pont, közöttük nincs három egy egyenesen. Minden pontpárt összeköt egy szakasz (él). Az éleket kiszínezzük k színnel úgy, hogy bármely k pontot választva, a köztük futó élek között mind a k szín előfordul. Határozzuk meg azt a legkisebb k-t (1k10), amelyre létezik ilyen színezés.
 
3. Az S halmaz n darab különböző valós számot tartalmaz. Legyen T azoknak a valós számoknak a halmaza, amelyek előállíthatók k darab különböző S-beli szám öegeként (1kn). Bizonyítsuk be, hogy T-nek legalább k(n-k)+1 eleme van, és ez az érték általában már nem növelhető.