Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek V.
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2000/április, 207 - 208. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Adjuk meg az $A$, $B$ és $C$ értékét egyszerűbb alakban, majd rakjuk növekedő sorrendbe őket: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(0\cdot {12}^{\circ }\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(1\cdot {12}^{\circ }\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(2\cdot {12}^{\circ }\right)+\text{...}+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(15\cdot {12}^{\circ }\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle B}& {\displaystyle =\sqrt[3]{6\cdot \sqrt[]{3}-10}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle C}& {\displaystyle =\text{log}{}_2\sqrt[]{\frac{2}{a}\cdot \sqrt[3]{\frac{a}{2}\cdot \sqrt[4]{\frac{a^8}{32}}}}\mathrm{,}\text{ahol}a=\sqrt[]{7}-1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Az $ABCDE$ konvex ötszögben $AE$ felezőpontja $F$, $FD$ felezőpontja $H$, $HC$ felezőpontja $J$, továbbá $BE$ felezőpontja $G$, $GD$ felezőpontja $I$, $IC$ felezőpontja $K$. Határozzuk meg a $JK:AB$ arányt!   3. Mutassuk meg, hogy a következő egyenletnek pontosan két egész gyöke van: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{1-\frac{x^2-2000x+1999}{x-1}}+\sqrt[]{-1+\frac{x^2-1999x+1998}{x-1}}=1.}\end{array}$   4. Az $y^2-6y-x+11=0$ egyenletű parabolának és egy körnek három közös pontja van, amelyek egy szabályos háromszög csúcsai. Adjuk meg a kör egyenletét, ha a középpontja illeszkedik a parabola tengelyére!   5. Határozzuk meg azokat a rácspontokat a koordinátarendszerben, amelyek koordinátáira teljesülnek a következő feltételek: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-x^{2}y-xy+y^2=\mathrm{0,}{x}^2+y^2-4x-2y-4\le 0.}\end{array}$   6. Egy bevásárlóközpont egy év alatt 54%-kal növelte a bevételét. A nagyobb bevételt a vásárlók számának és az egy főre eső vásárlás értékének a növekedése eredményezte. Hány százalékkal emelkedett a vásárlók száma, ha az egy főre eső vásárlás értéke négyszer akkora százalékkal nőtt, mint a vásárlók száma?   7. Az $a$, $b$, $c$ valós paraméterekre $a$ és $c$ különböző előjelű, továbbá $a+c\ne b$. Tekintsük az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a^2+b^2+c^2\right)\cdot x^2-2b\left(a+c\right)\cdot x+2ac=0.}\end{array}$ Mutassuk meg, hogy az egyenletnek van két valós gyöke, és a nagyobbik a $\left(0;1\right)$ intervallumban van.   8. Az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogója egységnyi. Megrajzoljuk kifelé az $ACDE$ és az $ABFG$ négyzeteket. Mekkora az $ABC$ háromszög $A$-nál lévő belső szöge, ha az $ECBG$ négyszög területe maximális? Számadó László