A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Az első egyenlet alakban is írható. Ha , akkor , így a megoldások , és , . Ha , akkor , a megoldások , és , .
2. Ha az első elem , a hányados , akkor azaz , tehát a harmadik elem vagy , így | | A megoldások: Ha , akkor , ha , akkor , ha , akkor és ha , akkor .
3. Az tengelyt az origóban érintő körök egyenlete . Ezen körök közül azok érintik az egyenletű egyenest, amelyekre a két vonal egyenlete által alkotott egyenletrendszer megoldása során kapott (-re vagy -ra) másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla. | | . pontosan akkor, ha vagy . A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete: | | (A feladat sokféleképpen oldható meg. Keressen más módszereket is.)
4. Az egyenlet gyökei akkor valós számok, ha az egyenlet diszkriminánsa nem negatív, azaz ha | | Most , így az -re vonatkozó feltételből -re | | Így | | legkisebb értéke tehát (ha ), legnagyobb értéke , ha .
5. Ha , és , akkor az azonos egyenlőtlenség alkalmazásával , tehát , és így | | Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .
6. A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt az őt közbezáró két oldal arányában osztja, így az ismeretlen két oldal két részét jelölje , illetve , a keresett szög . A két részháromszögben felírhatjuk a koszinusztételt. | | Az egyenlő együtthatók módszerével , . Így , ; a harmadik oldal egység. (A feladat más módokon is megoldható.)
7. Az elemző ábrán vegyük fel a pontot az szakaszon belül és legyen , a négyzet oldalát jelölje . (Az szakasz egyenesét tekintsünk olyan számegyenesnek, amelynek origója az pont. Így a pontnak az valós szám felel meg.) Ezek szerint , , , . Az és a derékszögű háromszögre alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét. , , ahonnan , tehát . , vagy . Így és ekkor vagy és ekkor . Az első esetben a pont az szakaszon belül van, a második esetben az végpontú félegyenes kiegészítő félegyenesén.
8. Azonos átalakításokkal () és rendezéssel az egyenlet alakban írható, így és . , ha , .
Ha , , akkor , , így vagy , ;
ha , , akkor , , így vagy , .
(Más módokon is megoldható a feladat.)
|
|