Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a III. mérőlap (2000/2.sz.) feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2000/március, 153 - 155. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Az első egyenlet (x-y)(x+y-2)=0 alakban is írható. Ha x=y, akkor 2x2=10x, így a megoldások x1=0, y1=0 és x2=5, y2=5.
Ha x+y=2, akkor x2+(2-x)2=10, a megoldások x3=3, y3=-1 és x4=-1, y4=3.
 
2. Ha az első elem a, a hányados q, akkor
aaq4=122ésaq-aq3=18,
azaz (aq2)2=122, tehát a harmadik elem a3=12 vagy a3=-12, így
12q-12q=18vagy2q2+3q-2=0vagy-12q+12q=18;2q2-3q-2=0.
A megoldások: Ha q=12, akkor a=48, ha q=-2, akkor a=3, ha q=2, akkor a=-3 és ha q=-12, akkor a=-48.
 
3. Az y tengelyt az origóban érintő körök egyenlete (x-u)2+y2=u2. Ezen körök közül azok érintik az y=1-x egyenletű egyenest, amelyekre a két vonal egyenlete által alkotott egyenletrendszer megoldása során kapott (x-re vagy y-ra) másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla.
(x-u)2+(1-x)2=u2,2x2-2(1+u)x+1=0,
D=4(u+1)2-8. D=0 pontosan akkor, ha u=-1+2 vagy u=-1-2. A feltételeknek két kör felel meg, ezek egyenlete:
x2+y2+(2-22)x=0vagyx2+y2+(2+22)x=0.
(A feladat sokféleképpen oldható meg. Keressen más módszereket is.)
 
4. Az egyenlet gyökei akkor valós számok, ha az egyenlet D diszkriminánsa nem negatív, azaz ha
(2-2m)2-42(m2-4m+1)0,azaz ha3-22m3+22.
Most x1x2=m2-4m+1212(m-2)2-32, így az m-re vonatkozó feltételből (m-2)-re
1-22m-21+22,tehát0(m-2)2(1+22)2.
Így
-3212(m-2)2-32=x1x212(1+22)2-32=3+22.
x1x2 legkisebb értéke tehát -32 (ha m=2), legnagyobb értéke 3+22, ha m=3+22.
 
5. Ha x>0, y>0 és x+y=4, akkor az x+y2xy azonos egyenlőtlenség alkalmazásával 42xy, tehát xy4, 1xy14 és így
(3+1x)(3+1y)=9+1xy+3x+yxy=9+13xy9+134=(72)2.
Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x=y=2.
 
6. A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt az őt közbezáró két oldal arányában osztja, így az ismeretlen két oldal két részét jelölje x, illetve 2x, a keresett szög γ. A két részháromszögben felírhatjuk a koszinusztételt.
x2=122+82-2812cosγ2,4x2=242+82-2824cosγ2.
Az egyenlő együtthatók módszerével cosγ2=12, x=47. Így γ2=60, γ=120; a harmadik oldal 3x=127 egység. 
(A feladat más módokon is megoldható.)
 
7. Az elemző ábrán vegyük fel a P pontot az AB szakaszon belül és legyen AP=x, a négyzet oldalát jelölje a. (Az AB szakasz egyenesét tekintsünk olyan számegyenesnek, amelynek origója az A pont. Így a P pontnak az x valós szám felel meg.) Ezek szerint PB=a-x, PD=17, PC=5, AD=BC=a.
Az APD és a BPC derékszögű háromszögre alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét. a2+x2=17, a2+(a-x)2=25, ahonnan x=a2-82a, tehát a2+(a2-82a)2=17.
5a4-84a2+64=0, a2=16 vagy a2=45.
Így a=4 és ekkor x=1 vagy a=25 és ekkor x=-95.
Az első esetben a P pont az AB szakaszon belül van, a második esetben az A végpontú AB félegyenes kiegészítő félegyenesén.
 
8. Azonos átalakításokkal (cos2x=1-sin2x) és rendezéssel az egyenlet
(2sinx+siny)2+cos2y=0
alakban írható, így cosy=0 és 2sinx+siny=0. cosy=0, ha y=π2+lπ, lZ.

Ha y=π2+2kπ, kZ, akkor siny=1, sinx=-12, így x=-π6+2nπ vagy x=-5π6+2nπ, nZ;

ha y=3π2+2kπ, kZ, akkor siny=-1, sinx=12, így x=π6+2nπ vagy x=5π6+2nπ, nZ.

(Más módokon is megoldható a feladat.)

Rábai Imre