Kezdőlap


Cím:	A Hajdú-Bihar megyei Matematikai Versenyről
Szerző(k):	Kántor Sándorné
Füzet:	2000/március, 146 - 149. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1975 és 1987 között a BJMT Hajdú-Bihar megyei Tagozata és a Megyei Művelődés- és Oktatási Osztály támogatásával évente megrendezésre került a Hajdú-Bihar megyei Matematikai Verseny, amelyen a megye középiskolásai vettek részt. 10 éves kihagyás után sikerült a versenyt a KLTE Matematikai és Informatikai Intézete és a Felsőoktatási Programfinanszírozási Pályázat tehetséggondozó programja keretében feléleszteni (a program vezetője Dr. Lajkó Károly). Az 1999/2000. tanévben 1999. november 18-án rendeztük meg a megye összes középiskolája (gimnázium, szakközépiskola) 9‐12. évfolyamos tanulói számára a versenyt, amelyen közel 1000 tanuló írt versenydolgozatot.
A versenyfeladatokat a KLTE oktatói állították össze (9. évfolyam: Dr. Kántor Sándor, 10. évfolyam: Dr. Kovács András, 11. évfolyam: Dr. Páles Zsolt, 12. évfolyam: Dr. Kántor Sándorné). Mindegyik évfolyamon 5 feladatot kaptak a tanulók, amelyek kidolgozására 2 órát fordíthattak. Egy-egy feladatsor összpontértéke 60 pont volt.
A verseny igen eredményes volt. 29 tanár 48 diákja ért el helyezést, kapott dicséretet, maximális pontszámot 7-en értek el (Csóka Endre, Nagy Tibor, Siroki László, Varga Éva, Csige Sándor, Csillag Kristóf, Patay Gergely).

A verseny eredményei:

9. évfolyam
1. Csóka Endre, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Nagy Tibor, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen;
2. Nagy András, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Nagy Erika, Bethlen G. Szakközépiskola, Debrecen;
3. Lakatos Kristóf, KLTE Gyak. Gimn., Debrecen; Krusper Balázs, Tóth Árpád Gimn., Debrecen; Hofgárt Gergely, Hőgyes E. Gimn., Hajdúszoboszló; Hajdú Gábor, Mechwart A. Szakközépiskola, Debrecen.
Dicséret: Kormos Attila (Fazekas Mihály Gimn., Debrecen), Nyul Balázs (Fazekas Mihály Gimn., Debrecen), Dombi Nóra (Tóth Árpád Gimn., Debrecen).

10. évfolyam
1. Siroki László, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Timár Gábor, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen;
2. Kovács Zoltán, Tóth Árpád Gimn., Debrecen; Erdei Zsuzsa, Hőgyes E. Gimn., Hajdúszoboszló; Tóth Ágnes, Hőgyes E. Gimn., Hajdúszoboszló; Guta Balázs, Ady E. Gimn., Debrecen;
3. Szakácsi János, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Pajna Gabriella, Tóth Árpád Gimn., Debrecen; Szaszkó Viktor, Bethlen G. Szakközépiskola, Debrecen; Gál Zoltán, Gábor D. Szakközépiskola, Debrecen; Varga Balázs, Bethlen G. Szakközépiskola, Debrecen; Hajdú János, Mechwart A. Szakközépiskola, Debrecen;
Dicséret: Borosi Aranka (Svetits Katolikus Gimn., Debrecen), Dombi Tímea (Tóth Árpád Gimn., Debrecen), Csirmaz Viktor (Hőgyes E. Gimn., Hajdúszoboszló).

11. évfolyam
1. Varga Éva, Tóth Árpád Gimn., Debrecen;
2. Csató György, Hőgyes E. Gimn., Hajdúszoboszló; Patalenszki Attila, Bethlen G. Szakközépisk., Debrecen;
3. Nagy Dávid, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Vona Gábor, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Zajdó Csaba, Tóth Árpád Gimn., Debrecen; Szilasi Zoltán, KLTE Gyak. Gimn., Debrecen;
Dicséret: Parádi Gábor (Tóth Árpád Gimn., Debrecen), Illés Péter (Tóth Árpád Gimn., Debrecen), Sajtos Erika (Református Koll. Gimn., Debrecen).

12. évfolyam
1. Csige Sándor, KLTE Gyak. Gimn., Debrecen; Csillag Kristóf, Karacs F. Gimn., Püspökladány; Patay Gergely, Tóth Árpád Gimn., Debrecen;
2. Fábián Ákos, KLTE. Gyak. Gimn., Debrecen; Nagy István, KLTE Gyak. Gimn., Debrecen; Oláh Gusztáv, Mechwart A. Szakközépiskola, Debrecen;
3. Vadkerti József, KLTE Gyak. Gimn., Debrecen; Kiss Norbert, Fazekas Mihály Gimn., Debrecen; Buday Tamás, Tóth Árpád Gimn., Debrecen; Lakatos Norbert, Bethlen G. Szakközépiskola, Debrecen;
Dicséret: Szilágyi Csaba (Tóth Árpád Gimn., Debrecen), Gunda Lénárd (KLTE Gyak. Gimn., Debrecen).

A verseny feladatai

9. évfolyam

1. Mennyi ebben az évszázadban (1901-gyel kezdve és 2000-rel bezárva) az évszámok számjegyeinek az összege? 10 pont

2. Három gyerek:

A

B

C

úgy osztozik egy tortán, hogy egymás után elveszik a maradék egy részét:

A

elveszi a torta egynegyedét,

B

a maradék egyharmadát,

C

a maradék felét. Ezután újra

A

következik: elveszi a maradék felét,

B

annak a felét, ami még megmaradt, és

C

azt viszi el, ami ezután még megmaradt. Ki mennyi részt kapott a tortából? 10 pont

3. Mely

n > 1

természetes számra igaz, hogy

n^{3} - n

osztható 24-gyel? 11 pont

4. Egy derékszögű háromszög köré írható körének sugara

R

, beírt körének sugara

r

. Mennyi a háromszög területe? 12 pont

5. Egy téglatest egyik csúcsából induló éleinek hossza

a

b

c

. A téglatest térfogata 60. Tudjuk, hogy

\begin{matrix} 3 \leq a \leq 4, 4 \leq b \leq 6. \end{matrix}

Van-e ezeket a feltételeket teljesítő mindegyik

a

b

c

számhármas esetén olyan háromszög, amelyik oldalainak hossza

a

b

c

? 17 pont

10. évfolyam

1. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely osztható az

\begin{matrix} 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15 \end{matrix}

számok mindegyikével? 8 pont

2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az

\begin{matrix} | | x | - 2 | = 1 \end{matrix}

egyenletet! 10 pont

3. Jóska órájának leesett a kismutatója. Sebaj ‐ gondolja ‐, napjában néhányszor, amikor a nagymutató eltakarja a kicsit, a többi órán is ugyanezt lehet látni. Hányszor fordul elő ez az eset egy ,,jó'' órával egy nap alatt, és mely időpontokban? 12 pont

4. Egy paralelogrammába rajzoljunk egy másik paralelogrammát. A két paralelogrammának a középpontja vajon minden esetben egybeesik? (Egy paralelogramma akkor van egy másikba rajzolva, ha a berajzolt alakzat csúcspontjai a másik paralelogramma különböző oldalain találhatók.) 14 pont

5. Pista a

\begin{matrix} \sqrt[3]{\sqrt[]{5} + x} + \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - x} = \sqrt[3]{5 \sqrt[]{5}} \end{matrix}

egyenlet megoldására az

x = 2

gyököt kapta. Győződjünk meg arról, hogy az

x = 2

valóban gyök-e, és vizsgáljuk meg, nincs-e más gyöke az egyenletnek! 16 pont

11. évfolyam

1. Állapítsuk meg, hogy

20!

-nak a 6-os számrendszerbeli alakja hány nullára végződik (

20! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 20

). 10 pont

2. Oldjuk meg a

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} + 6 x + 9} + \sqrt[]{x^{2} + 12 x + 36} = \sqrt[]{x^{2} + 8 x + 16} + \sqrt[]{x^{2} + 10 x + 25} \end{matrix}

egyenletet a valós számok halmazán. 11 pont

3. Oldjuk meg a

\begin{matrix} (log_{sin x} sin 2 x) (log_{sin 2 x} sin 3 x) (log_{sin 3 x} sin 4 x) = 1 \end{matrix}

egyenletet a

0 < x < \frac{π}{4}

intervallumon. 12 pont

4. Szerkesszük meg az

A B C

háromszöget, ha ismerjük

B C

hosszát, valamint az

A S B ∢

és az

A S C ∢

szögek értékét, ahol

S

a háromszög súlypontja. 13 pont

5. Legyen egy

A B C D

négyzet alapú szabályos gúla csúcsa

E

. Tegyük fel, hogy

A E B ∢ = 30^{\circ}

. Legyenek

P

Q

R

rendre a

B E

C E

D E

élek olyan belső pontjai, amelyekre az

A P Q R A

töröttvonal hossza minimális. Igazoljuk, hogy ekkor

Q

C E

él felezőpontja. 14 pont

12. évfolyam

1. Az

a_{1}

és

a_{2}

valós számokból kiindulva képezzük az

\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}, a_{n + 1}, a_{n + 2}, ... \end{matrix}

sorozatot úgy, hogy

\begin{matrix} a_{3} = a_{2} - a_{1}, a_{4} = a_{3} - a_{2}, ..., a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}, ... (n \in N) . \end{matrix}

Számoljuk ki a sorozat első 2004 tagjának összegét! 10 pont

2. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely az

y

tengelyt az origóban érinti, és érinti az

x - y = - 1

egyenletű egyenest is. 10 pont

3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 8 \sqrt[]{1 - 2^{x} + 2^{2 x - 2}} > 2^{2 x} - 2^{x + 2} + 7. \end{matrix}

12 pont

4. Legyen

P

a

oldalhosszúságú

A B C D

négyzet köré írható körnek,

Q

pedig a négyzetbe írható körnek egy tetszőleges pontja. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} 3 (d_{P A}^{2} + d_{P B}^{2} + d_{P C}^{2} + d_{P D}^{2}) = 4 (d_{Q A}^{2} + d_{Q B}^{2} + d_{Q C}^{2} + d_{Q D}^{2}) . \end{matrix}

14 pont

5. Négy gömb alakú golyó fekszik egy asztallapon úgy, hogy mindegyik golyó érinti az asztallapot és a másik három golyót. A négy golyó közül három sugarának a hossza

R

. Határozzuk meg a negyedik golyó sugarának a hosszát. 14 pont

Kántor Sándorné
a Versenybizottság vezetője