A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Ha az szám közös gyöke az és a egyenleteknek, akkor minden , valós számra gyöke az egyenletnek is, hiszen és , tehát . Mivel az egyenleteknek két közös gyöke van, azért ezek a gyökök közös megoldásai az | | egyenleteknek is. Az nem lehetséges, hiszen akkor nem volna két közös gyök. Az egyik egyenletnek sem gyöke. Így ahonnan és , tehát , , a közös gyökök az egyenlet gyökei, , . A harmadik gyökök , illetve , hiszen és .
2. Jelölje a háromszög területét. Ekkor , , és | | Ezekből következik az állítás.
3. Az x>0, xa2≠1 és az xa≠1 feltételeknek teljesülnie kell. Ha a=1, akkor tehát ekkor minden x>0, x≠1 szám megoldás. Ha a≠1 (a>0), akkor azonos átalakításokkal, majd rendezéssel | 3logax2+logax+12logaxlogax-12-2>0,32(logax-1)(logax-43)(logax+2)(logax-12)>0. | Ez utóbbi egyenlőtlenség akkor teljesül, ha logax<-2 vagy 12<logax<1 vagy logax>43. Ha a>1, akkor a megoldások: 0<x<1a2 vagy a<x<a vagy x>a43; ha 0<a<1, akkor a megoldások: x>1a2 vagy a<x<a vagy 0<x<a43.
4. a) Ismeretes, hogy 4sa2=2(b2+c2)-a2, 4sb2=2(a2+c2)-b2 és 4sc2=2(a2+b2)-c2. Ha 2b2=a2+c2, akkor egyrészt 2sb2=2(a2+c2)-b22=3b22, másrészt | sa2+sc2=14((2b2+2c2-a2)+(2a2+2b2-c2))=14(4b2+a2+c2)=14⋅6b2=3b22, | így valóban 2sb2=sa2+sc2. Megfordítva, ha 2sb2=sa2+sc2, akkor 2a2+2c2-b22=14(2b2+2c2-a2+2a2+2b2-c2), ahonnan 2b2=a2+c2. b) Ha a≥b≥c, akkor sc≥sb≥sa. Ismeretes, hogy ha az ABC háromszög területe T1, a súlyvonalakból mint oldalakból alkotott háromszög területe T2 területegység, akkor T2T1=34. Ha a két háromszög hasonló, akkor T2T1=sa2c2=sb2b2=sc2a2=34, tehát sa2c2=2b2+2c2-a24c2=34, ahonnan 2b2=a2+c2. Ha 2b2=a2+c2, akkor sa2c2=2b2+2c2-a24c2=3c24c4=34, azaz sac=32. Hasonlóan sbb=sca=32, tehát a két háromszög hasonló.
|
|