Cím:	A januári szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2000/február, 76 - 78. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Ha az $x_0$ szám közös gyöke az $f\left(x\right)=0$ és a $g\left(x\right)=0$ egyenleteknek, akkor minden $A$, $B$ valós számra gyöke az $Af\left(x\right)+Bg\left(x\right)=0$ egyenletnek is, hiszen $f\left(x_0\right)=0$ és $g\left(x_0\right)=0$, tehát $Af\left(x_0\right)+Bg\left(x_0\right)=0$. Mivel az egyenleteknek két közös gyöke van, azért ezek a gyökök közös megoldásai az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x^3+bx-12\right)-\left(x^3-a{x}^2+18\right)=0\text{és a}2\left(x^3-a{x}^2+18\right)+3\left(x^3+bx-12\right)=\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle a{x}^2+bx-30=\mathrm{0,}x\left(5x^2-2ax+3b\right)=0}\end{array}}}\end{array}$ egyenleteknek is. Az $a=0$ nem lehetséges, hiszen akkor nem volna két közös gyök. Az $x=0$ egyik egyenletnek sem gyöke. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x-\frac{30}{a}\equiv x^2-\frac{2}{5}ax+\frac{3b}{5}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\frac{b}{a}=-\frac{2}{5}a$ és $-\frac{30}{a}=\frac{3b}{5}$, tehát $a=5$, $b=-10$, a közös gyökök az $x^2-2x-6=0$ egyenlet gyökei, $x_1=1+\sqrt[]{7}$, $x_2=1-\sqrt[]{7}$. A harmadik gyökök $x_3=3$, illetve $x_4=-2$, hiszen $\frac{x^3-5x^2+18}{x^2-2x-6}=x-3$ és $\frac{x^3-10x+12}{x^2-2x-6}=x+2$.   2. Jelölje $T$ a háromszög területét. Ekkor $\text{sin}\alpha =\frac{2T}{bc}$, $\text{sin}\beta =\frac{2T}{ca}$, $\text{sin}\gamma =\frac{2T}{ab}$ és Ezekből következik az állítás.   3. Az $x>0$, $x{a}^2\ne 1$ és az $\frac{x}{\sqrt[]{a}}\ne 1$ feltételeknek teljesülnie kell. Ha $a=1$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_x{x}^3+\text{log}{}_x\sqrt[]{x}\equiv 3+\frac{1}{2}>\mathrm{2,}}\end{array}$ tehát ekkor minden $x>0$, $x\ne 1$ szám megoldás. Ha $a\ne 1$ ($a>0$), akkor azonos átalakításokkal, majd rendezéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{3\text{log}{}_{a}x}{2+\text{log}{}_{a}x}+\frac{\frac{1}{2}\text{log}{}_{a}x}{\text{log}{}_{a}x-\frac{1}{2}}-2>\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle \frac{\frac{3}{2}\left(\text{log}{}_{a}x-1\right)\left(\text{log}{}_{a}x-\frac{4}{3}\right)}{\left(\text{log}{}_{a}x+2\right)\left(\text{log}{}_{a}x-\frac{1}{2}\right)}>0.}\end{array}}}\end{array}$ Ez utóbbi egyenlőtlenség akkor teljesül, ha $\text{log}{}_{a}x<-2$ vagy $\frac{1}{2}<\text{log}{}_{a}x<1$ vagy $\text{log}{}_{a}x>\frac{4}{3}$. Ha $a>1$, akkor a megoldások: $0<x<\frac{1}{a^2}$ vagy $\sqrt[]{a}<x<a$ vagy $x>a^{\frac{4}{3}}$; ha $0<a<1$, akkor a megoldások: $x>\frac{1}{a^2}$ vagy $a<x<\sqrt[]{a}$ vagy $0<x<a^{\frac{4}{3}}$.   4. $a)$ Ismeretes, hogy $4s_a^2=2\left(b^2+c^2\right)-a^2$, $4s_b^2=2\left(a^2+c^2\right)-b^2$ és $4s_c^2=2\left(a^2+b^2\right)-c^2$. Ha $2b^2=a^2+c^2$, akkor egyrészt  $2s_b^2=\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{2}=\frac{3b^2}{2}$, másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle s_a^2+s_c^2=\frac{1}{4}\left(\left(2b^2+2c^2-a^2\right)+\left(2a^2+2b^2-c^2\right)\right)=\frac{1}{4}\left(4b^2+a^2+c^2\right)=\frac{1}{4}\cdot 6b^2=\frac{3b^2}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ így valóban $2s_b^2=s_a^2+s_c^2$. Megfordítva, ha $2s_b^2=s_a^2+s_c^2$, akkor $\frac{2a^2+2c^2-b^2}{2}=\frac{1}{4}\left(2b^2+2c^2-a^2+2a^2+2b^2-c^2\right)$, ahonnan $2b^2=a^2+c^2$. $b)$ Ha $a\ge b\ge c$, akkor $s_c\ge s_b\ge s_a$. Ismeretes, hogy ha az $ABC$ háromszög területe $T_1$, a súlyvonalakból mint oldalakból alkotott háromszög területe $T_2$ területegység, akkor $\frac{T_2}{T_1}=\frac{3}{4}$. Ha a két háromszög hasonló, akkor $\frac{T_2}{T_1}=\frac{s_a^2}{c^2}=\frac{s_b^2}{b^2}=\frac{s_c^2}{a^2}=\frac{3}{4}$, tehát $\frac{s_a^2}{c^2}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4c^2}=\frac{3}{4}$, ahonnan $2b^2=a^2+c^2$. Ha $2b^2=a^2+c^2$, akkor $\frac{s_a^2}{c^2}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4c^2}=\frac{3c^2}{4c^4}=\frac{3}{4}$, azaz $\frac{s_a}{c}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$. Hasonlóan $\frac{s_b}{b}=\frac{s_c}{a}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$, tehát a két háromszög hasonló. Rábai Imre