Cím: A januári szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2000/február, 76 - 78. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Ha az x0 szám közös gyöke az f(x)=0 és a g(x)=0 egyenleteknek, akkor minden A, B valós számra gyöke az Af(x)+Bg(x)=0 egyenletnek is, hiszen f(x0)=0 és g(x0)=0, tehát Af(x0)+Bg(x0)=0. Mivel az egyenleteknek két közös gyöke van, azért ezek a gyökök közös megoldásai az
(x3+bx-12)-(x3-ax2+18)=0és a2(x3-ax2+18)+3(x3+bx-12)=0,ax2+bx-30=0,x(5x2-2ax+3b)=0
egyenleteknek is.
Az a=0 nem lehetséges, hiszen akkor nem volna két közös gyök. Az x=0 egyik egyenletnek sem gyöke. Így
x2+bax-30ax2-25ax+3b5,
ahonnan ba=-25a és -30a=3b5, tehát a=5, b=-10, a közös gyökök az x2-2x-6=0 egyenlet gyökei, x1=1+7, x2=1-7.
A harmadik gyökök x3=3, illetve x4=-2, hiszen x3-5x2+18x2-2x-6=x-3 és x3-10x+12x2-2x-6=x+2.
 
2. Jelölje T a háromszög területét. Ekkor sinα=2Tbc, sinβ=2Tca, sinγ=2Tab és
ctgα=cosαsinα=b2+c2-a22bc2Tbc=b2+c2-a24T,ctgβ=a2+c2-b24T,ctgγ=a2+b2-c24T,
tehát  sinα+sinβ+sinγ=2T(1ab+1bc+1ca)  és
ctgα+ctgβ+ctgγ=14T(b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2)=14T(a2+b2+c2).
Ezekből következik az állítás.
 
3. Az x>0, xa21 és az xa1 feltételeknek teljesülnie kell. Ha a=1, akkor
logxx3+logxx3+12>2,
tehát ekkor minden x>0, x1 szám megoldás. Ha a1 (a>0), akkor azonos átalakításokkal, majd rendezéssel
3logax2+logax+12logaxlogax-12-2>0,32(logax-1)(logax-43)(logax+2)(logax-12)>0.
Ez utóbbi egyenlőtlenség akkor teljesül, ha logax<-2 vagy 12<logax<1 vagy logax>43.
Ha a>1, akkor a megoldások: 0<x<1a2 vagy a<x<a vagy x>a43;
ha 0<a<1, akkor a megoldások: x>1a2 vagy a<x<a vagy 0<x<a43.
 
4. a) Ismeretes, hogy 4sa2=2(b2+c2)-a2, 4sb2=2(a2+c2)-b2 és 4sc2=2(a2+b2)-c2.
Ha 2b2=a2+c2, akkor egyrészt  2sb2=2(a2+c2)-b22=3b22, másrészt
sa2+sc2=14((2b2+2c2-a2)+(2a2+2b2-c2))=14(4b2+a2+c2)=146b2=3b22,
így valóban 2sb2=sa2+sc2.
Megfordítva, ha 2sb2=sa2+sc2, akkor 2a2+2c2-b22=14(2b2+2c2-a2+2a2+2b2-c2), ahonnan 2b2=a2+c2.
b) Ha abc, akkor scsbsa.
Ismeretes, hogy ha az ABC háromszög területe T1, a súlyvonalakból mint oldalakból alkotott háromszög területe T2 területegység, akkor T2T1=34.
Ha a két háromszög hasonló, akkor T2T1=sa2c2=sb2b2=sc2a2=34, tehát sa2c2=2b2+2c2-a24c2=34, ahonnan 2b2=a2+c2.
Ha 2b2=a2+c2, akkor sa2c2=2b2+2c2-a24c2=3c24c4=34, azaz sac=32.
Hasonlóan sbb=sca=32, tehát a két háromszög hasonló.
Rábai Imre