Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek III.
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2000/február, 75 - 76. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Radó János igazgató úr (barátom) emlékére     1. Oldja meg a valós számpárok halmazán (${\text{R}}^2$) a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-y^2=2\left(x-y\right)\mathrm{,}{x}^2+y^2=5\left(x+y\right)\mathrm{.}}\end{array}$   2. Egy mértani sorozat első és ötödik elemének szorzata 144, a második és a negyedik elem különbsége 18. Számítsa ki a sorozat első elemét és hányadosát.   3. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely az $y$ tengelyt az origóban érinti, és érinti az $x+y=1$ egyenletű egyenest is.   4. Állapítsa meg, hogy az $m$ valós paraméter mely értékeire lesznek a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2+\left(2-2m\right)x+\left(m^2-4m+1\right)=0}\end{array}$ egyenlet gyökei valósak, és állapítsa meg ezekre az $m$ értékekre az $x_1\cdot x_2$ kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ahol $x_1$ és $x_2$ az egyenlet gyökeit jelentik.   5. Legyen $x>0$, $y>0$ és $x+y=4$. Igazolja, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(3+\frac{1}{x}\right)\left(3+\frac{1}{y}\right)\ge {\left(\frac{7}{2}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   6. Egy háromszög két oldalának hossza 12, illetve 24 egység. A közbezárt szög szögfelezője 8 egység. Számítsa ki a két oldal által bezárt szöget és a harmadik oldalt.   7. Az $ABCD$ négyzet $AB$ oldalegyenesének egy $P$ pontja a $C$, illetve a $D$ csúcsoktól 5, illetve $\sqrt[]{17}$ egység távolságra van. Mekkora a négyzet oldala? Hol helyezkedik el a $P$ pont?   8. Oldja meg a valós számpárok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\text{cos}{}^{2}x-4\text{sin}x\cdot \text{sin}y-5=0}\end{array}$ kétismeretlenes egyenletet. Rábai Imre