Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a II. mérőlap (1999/9. sz.) feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2000/január, 17 - 18. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Tükrözzük az $ABC$ háromszög $S$ súlypontját az $AB$ oldal $C_1$ felezőpontjára, a tükörkép legyen $S_c$. Az $AS{S}_c$ háromszög oldalai az $ABC$ háromszög súlyvonalainak a kétharmada, és területe az $ABC$ háromszög területének a harmada. Az $AS{S}_c$ háromszög derékszögű, hiszen $1^2+\mathrm{2,}{4}^2=\mathrm{2,}{6}^2$. Ha az $ABC$ háromszög területét $T$-vel jelöljük, akkor $\frac{T}{3}=\frac{\left(\frac{2}{3}\cdot 1\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \mathrm{2,4}\right)}{2}$, ahonnan $T=\mathrm{1,6}$ területegység.   2. Az egyenlet diszkriminánsa $D=4^2-4\left(3+2a-a^2\right)=4{\left(a-1\right)}^2$, így az egyenlet gyökei $x_1=a+1$, $x_2=3-a$. Ha $x_1=2x_2$, akkor $a+1=6-2a$, $a=\frac{5}{3}$,  ha $x_2=2x_1$, akkor $2a+2=3-a$, $a=\frac{1}{3}$.   3. $y^{\text{log}{}_{2}x}\equiv x^{\text{log}{}_{2}y}$ ($x>0$, $y>0$), hiszen mindkét mennyiség pozitív és 2-es alapú logaritmusuk egyenlő. A második egyenletből $\frac{x}{y}=2$ ($x>0$, $y>0$), az első egyenletből $x^{\text{log}{}_{2}y}=1$, ahonnan $\text{log}{}_{2}y\cdot \text{log}{}_{2}x=\text{log}{}_{2}1=0$. Ha $\text{log}{}_{2}x=0$, akkor $x_1=1$ és így $y_1=\frac{1}{2}$, ha $\text{log}{}_{2}y=0$, akkor $y_2=1$ és így $x_2=2$.   4. Ha $m=5$, akkor a kifejezés elsőfokú ($-3x+8$), tehát felvesz negatív értékeket is. Ha $m\ne 5$, akkor a kifejezés pontosan másodfokú, így akkor vesz fel minden valós $x$-re pozitív értéket, ha $5-m>0$ és a polinom diszkriminánsa negatív, azaz $9-4\left(5-m\right)\left(m+3\right)>0$, azaz ${\left(m-1\right)}^2<\frac{55}{4}$, $|m-1|<\frac{\sqrt[]{55}}{2}$, tehát $1-\frac{\sqrt[]{55}}{2}<m<1+\frac{\sqrt[]{55}}{2}$. Mivel $1+\frac{\sqrt[]{55}}{2}<5$, ezért a feltétel akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\frac{\sqrt[]{55}}{2}<m<1+\frac{\sqrt[]{55}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   5. Legyen a ${60}^{\circ }$-os szöget közrezáró két oldal $a$ és $b$, a harmadik oldal $c$. $a)$ A feltétel szerint $4\sqrt[]{3}=\frac{ab\sqrt[]{3}}{4}$, $ab=16$. Mivel $a>0$, $b>0$ esetén $a+b\ge 2\sqrt[]{ab}$, ezért most $a+b\ge 8$, így akkor a legkisebb, ha $a+b=8$ és $a=b$, tehát $a=4$, $b=4$, amiből következik, hogy minden szög ${60}^{\circ }$, így $c=4$ egység. $b)$ A $c$ akkor a legkisebb, ha $c^2$ ($c>0$) a legkisebb. Most $c^2=a^2+b^2-2ab\text{cos}\gamma$ és $2ab\text{cos}\gamma =2\cdot 16\cdot \frac{1}{2}=16$, tehát $c^2=a^2+b^2-16$. Az ${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ egyenlőtlenségből $a^2+b^2\ge 2ab$ adódik, tehát most $a^2+b^2\ge 2\cdot 16$, ahol az egyenlőség $a=b$ esetén teljesül; most $a^2+b^2=16$, $a=b=4$. A $c^2$ legkisebb értéke 16, a $c$ legkisebb értéke 4, így a háromszög egyenlő oldalú.   6. Az $AB$ egyenes egyenlete $4x+y-4=0$, az $AB$ oldal hossza $AB=\sqrt[]{17}$ egység; az $AB$ oldalhoz tartozó $m$ magasságra $\sqrt[]{17}\cdot m=2\cdot 13$, $m=\frac{26}{\sqrt[]{17}}$. A $C\left(c;6\right)$ pont a $4x+y-4=0$ egyenletű egyenestől $m=\frac{26}{\sqrt[]{17}}$ egység távolságra van, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{26}{\sqrt[]{17}}=\frac{|4c+6-4|}{\sqrt[]{17}}\mathrm{,}\text{ahonnan}|4c+2|=26}\end{array}$ és így $c_1=6$ vagy $c_2=-7$.   7. Mivel $\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x=1$ azért ${\left(\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x\right)}^2=1$. Felhasználva még, hogy $\text{sin}{}^{2}x=\frac{1-\text{cos}2x}{2}$, $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{sin}{}^{4}x+\text{cos}{}^{4}x=1-\frac{1}{2}\cdot 4\text{sin}{}^{2}x\cdot \text{cos}{}^{2}x=1-\frac{1}{2}\cdot \text{sin}{}^{2}2x=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\text{cos}4x}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\text{cos}4x\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A feladat kérdésére térve, $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\text{cos}4x\ge \frac{5}{8}$ pontosan akkor, ha $\text{cos}4x\ge -\frac{1}{2}$; $-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \le 4x\le \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \text{Z}$. Az egyenlőtlenség megoldásai: $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}\mathrm{,}k\in \text{Z}\mathrm{.}}\end{array}$   8. Tegyük fel, hogy az egyenletnek van megoldása. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{a-x}=1-\sqrt[]{-x}\mathrm{,}a-x=1-x-2\sqrt[]{-x}\mathrm{,}\sqrt[]{-x}=\frac{1-a}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ így az egyenletnek csak $x_0=-{\left(\frac{a-1}{2}\right)}^2$ lehet megoldása. $x_0$ akkor megoldása az egyenletnek, ha behelyettesítve egyenlőséget kapnuk. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{a+{\left(\frac{a-1}{2}\right)}^2}+\sqrt[]{{\left(\frac{a-1}{2}\right)}^2}=\mathrm{1,}\text{azaz ha}|a+1|+|a-1|=2.}\end{array}$ Ez utóbbi egyenlet megoldásai a $-1\le a\le 1$ számok. Az adott egyenletnek tehát $-1\le a\le 1$ esetén van megoldása és a megoldás $x=-{\left(\frac{a-1}{2}\right)}^2$. Rábai Imre