Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a II. mérőlap (1999/9. sz.) feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 2000/január, 17 - 18. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Tükrözzük az ABC háromszög S súlypontját az AB oldal C1 felezőpontjára, a tükörkép legyen Sc. Az ASSc háromszög oldalai az ABC háromszög súlyvonalainak a kétharmada, és területe az ABC háromszög területének a harmada. Az ASSc háromszög derékszögű, hiszen 12+2,42=2,62. Ha az ABC háromszög területét T-vel jelöljük, akkor T3=(231)(232,4)2, ahonnan T=1,6 területegység.
 
2. Az egyenlet diszkriminánsa D=42-4(3+2a-a2)=4(a-1)2, így az egyenlet gyökei x1=a+1, x2=3-a.
Ha x1=2x2, akkor a+1=6-2a, a=53,  ha x2=2x1, akkor 2a+2=3-a, a=13.
 
3. ylog2xxlog2y (x>0, y>0), hiszen mindkét mennyiség pozitív és 2-es alapú logaritmusuk egyenlő.
A második egyenletből xy=2 (x>0, y>0), az első egyenletből xlog2y=1, ahonnan log2ylog2x=log21=0.
Ha log2x=0, akkor x1=1 és így y1=12, ha log2y=0, akkor y2=1 és így x2=2.
 
4. Ha m=5, akkor a kifejezés elsőfokú (-3x+8), tehát felvesz negatív értékeket is.
Ha m5, akkor a kifejezés pontosan másodfokú, így akkor vesz fel minden valós x-re pozitív értéket, ha 5-m>0 és a polinom diszkriminánsa negatív, azaz 9-4(5-m)(m+3)>0, azaz (m-1)2<554, |m-1|<552, tehát 1-552<m<1+552.
Mivel 1+552<5, ezért a feltétel akkor teljesül, ha
1-552<m<1+552.

 
5. Legyen a 60-os szöget közrezáró két oldal a és b, a harmadik oldal c.
a) A feltétel szerint 43=ab34, ab=16. Mivel a>0, b>0 esetén a+b2ab, ezért most a+b8, így akkor a legkisebb, ha a+b=8 és a=b, tehát a=4, b=4, amiből következik, hogy minden szög 60, így c=4 egység.
b) A c akkor a legkisebb, ha c2 (c>0) a legkisebb. Most c2=a2+b2-2abcosγ és 2abcosγ=21612=16, tehát c2=a2+b2-16.
Az (a-b)20 egyenlőtlenségből a2+b22ab adódik, tehát most a2+b2216, ahol az egyenlőség a=b esetén teljesül; most a2+b2=16, a=b=4.
A c2 legkisebb értéke 16, a c legkisebb értéke 4, így a háromszög egyenlő oldalú.
 
6. Az AB egyenes egyenlete 4x+y-4=0, az AB oldal hossza AB=17 egység; az AB oldalhoz tartozó m magasságra 17m=213, m=2617.
A C(c;6) pont a 4x+y-4=0 egyenletű egyenestől m=2617 egység távolságra van, tehát
2617=|4c+6-4|17,ahonnan|4c+2|=26
és így c1=6 vagy c2=-7.
 
7. Mivel sin2x+cos2x=1 azért (sin2x+cos2x)2=1. Felhasználva még, hogy sin2x=1-cos2x2,
sin4x+cos4x=1-124sin2xcos2x=1-12sin22x=1-121-cos4x2=34+14cos4x.
A feladat kérdésére térve, 34+14cos4x58 pontosan akkor, ha cos4x-12; -2π3+2kπ4x2π3+2kπ, kZ.
Az egyenlőtlenség megoldásai:
-π6+kπ2xπ6+kπ2,kZ.

 
8. Tegyük fel, hogy az egyenletnek van megoldása. Ekkor
a-x=1--x,a-x=1-x-2-x,-x=1-a2,
így az egyenletnek csak x0=-(a-12)2 lehet megoldása. x0 akkor megoldása az egyenletnek, ha behelyettesítve egyenlőséget kapnuk.
a+(a-12)2+(a-12)2=1,azaz ha|a+1|+|a-1|=2.
Ez utóbbi egyenlet megoldásai a -1a1 számok. Az adott egyenletnek tehát -1a1 esetén van megoldása és a megoldás x=-(a-12)2.
Rábai Imre