Cím:	Szakköri feladatok II.
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2000/január, 16. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Lukács Sándor igazgató úr (barátom) emlékére     1. Határozza meg az $a$ és a $b$ paraméterek értékeit, ha az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-a{x}^2+18=0\text{és az}{x}^3+bx-12=0}\end{array}$ egyenleteknek két közös valós gyöke van. Oldja is meg az egyenleteket.   2. Igazolja, hogy minden háromszögben (a szokásos jelölésekkel) $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\text{sin}\alpha +\text{sin}\beta +\text{sin}\gamma \right)\left(\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\alpha +\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\beta +\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\gamma \right)=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   3. Oldja meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{a^{2}x}{x}^3+\text{log}{}_{\frac{x}{\sqrt[]{a}}}\sqrt[]{x}>2}\end{array}$ egyenlőtlenséget a valós számok halmazán, ahol $a>0$ valós paraméter.   4. Az $ABC$ háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, illetve $c$ egység. ($a\ge b\ge c$), a súlyvonalak hossza rendre $s_a$, $s_b$, $s_c$. $a)$ Igazolja, hogy $2b^2=a^2+c^2$ pontosan akkor (akkor és csak akkor), ha $2s_b^2=s_a^2+s_c^2$. $b)$ Igazolja, hogy az $ABC$ háromszög súlyvonalaiból mint oldalakból alkotott háromszög pontosan akkor hasonló az $ABC$ háromszöghöz, ha $2b^2=a^2+c^2$. Rábai Imre