Cím:	Matematika és fizika totó az 1998. évi Téli Ifjúsági Ankéton
Füzet:	1999/január, 65. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. * 1. Egységnyi sugarú körbe, illetve köré szabályos $n$-oldalú sokszögeket írunk, melyek területe rendre $t_n$, illetve $T_n$. Igaz-e véges sok kivétellel, hogy: $\pi -t_n>T_n-\pi$ (1). Igaz-e véges sok kivétellel, hogy: $T_n-\pi >\pi -t_n$ (2). Igaz-e mindkét állítás végtelen sokszor (X)? * 2. Lehet-e egy mágnesrúd két vége északi pólusú, a közepe pedig déli? Lehet (1), nem, mert ez tripólus lenne, és az állandó mágnesek mindig dipólusok (2), csak úgy, ha két mágnest a déli pólusuknál összeérintve egymáshoz ragasztunk (pl. pillanatragasztóval) (X). * 3. Hány megoldása van a pozitív egész számok halmazán az $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1998}$ egyenletnek? Végtelen sok (1), 144 (2), 1998 (X). * 4. Vízben az ultrahang alig nyelődik el. Két tengeralattjáró halad egymással szemben a hang terjedési sebességének $1\%$-ával. Az egyik ultrahang-jelet ad ki, ami a két jármű között ide-oda verődik. Hány visszaverődés kell, hogy a frekvencia megduplázódjék? 35 (1), 70 (2), tetszőlegesen sok visszaverődés sem elég a frekvencia megduplázásához (X). * 5. A ,,Szerelem első látásra'' című televíziós játékban három fiú és három lány egymástól függetlenül (véletlenszerűen) egy-egy lányt, illetve fiút választ. Kedvező eset az, amikor legalább egy olyan pár jön létre, akik kölcsönösen egymást választották. A résztvevők számát $4+4$-re növelve, annak a valószínűsége, hogy lesz legalább egy ilyen pár, növekszik (1), csökken (2), nem változik (X). * 6. Egy bélyeget egyszerű nagyítón keresztül figyelünk meg. A leképezési törvény szerint meghatározzuk az $N=|k/t|$ mennyiséget (amit nagyításnak szoktak nevezni). Mekkora a szemünk által észlelt ,,nagyítás''? Éppen $N$ (1), $N$-nél kisebb (2), $N$-nél nagyobb (X). * 7. Van-e három olyan pozitív egész szám, amelyek negyedik hatványának összege is negyedik hatvány? Van (1), nincs (2), a probléma eldöntetlen (X). * 8. Sok könnyű alumínium pénzt (pl. 10 fillérest) helyezünk egy tálban nyugvó víz tetejére. Milyen kölcsönhatás figyelhető meg a pénzek között? Vonzó (1), taszító (2), nincs közöttük észlelhető erőhatás (X). * 9. $\pi \left(k\right)$ a $k$-nál nem nagyobb prímek száma ($k$ pozitív egész). Igaz-e véges sok kivétellel, hogy $\pi \left(k\right)<\frac{k}{\text{ln}k}$ (1)? Igaz-e véges sok kivétellel, hogy $\pi \left(k\right)>\frac{k}{\text{ln}k}$ (2)? Mindkét állítás végtelen sokszor igaz (X)? * 10. Öt párhuzamos keskeny résből álló optikai rendszerre monokromatikus fényt engedünk. Az elhajlási kép a kettősréshez lesz hasonló, azonban a főmaximumok között, azoknál sokkal halványabb mellékmaximumok jelennek meg. Vajon hány mellékmaximum található két főmaximum között? Három (1), négy (2), öt (X)? * 11. Van-e olyan (minden valós számon értelmezett) $f\left(x\right)$ függvény, amelyre $f\left(f\left(x\right)\right)=-x$ és szakadási helyeinek száma egy (1), három (2), nem egy és nem is három (X). * 12. Nyugvó protonokba nagy sebességű protonok ütköznek. Az ütközés utáni irányuk szöge kisebb, mint ${90}^{\circ }$ (1), éppen ${90}^{\circ }$ (2), nagyobb mint ${90}^{\circ }$ (X). * 13. Egy felül nyitott hengeres víztartály alján egy kicsiny lyuk keletkezik. A víz fele 1 óra alatt folyik ki. Mennyi idő alatt ürül ki a tartály? 2 óra alatt (1), 3 óra alatt (2), több mint 200 perc alatt (X). 13 + 1. Monokromatikus fényt engedünk át egy optikai rácson. Mi változik, ha a kísérletet vízben végezzük el? Melyik válasz rossz (!) az alábbiak közül? Az elhajlási irányok megmaradnak, de a fény színe megváltozik (1). Olyan elhajlási képet kapunk, mintha $\frac{3}{4}\lambda$ hullámhosszúságú fénnyel végeztük volna el a kísérletet (2). Az elhajlási irányokat úgy kapjuk meg, hogy az eredeti irányokat a Snellius‐Descartes-törvény szerint ,,megtörjük'' (X).   * A helyes válaszokat a jövő havi számunkban közöljük.