Cím:	Az 1998/99. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1999/november, 466 - 470. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. kategória: Szakközépiskolák   Első (iskolai) forduló       1. Határozza meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^5+3x^4-2x^3-x^2+3x+1}\end{array}$ polinom számértékét, ha $\frac{1}{x}=1-x^2$.   2. A természetes számok $H$ részhalmazának elemei a következő tulajdonsággal rendelkeznek: a) $6\in H$. b) Ha $x\in H$, akkor $3x\in H$. c) Ha $\left(8x-2862\right)\in H$, akkor $x\in H$. Bizonyítsa be, hogy $1998\in H$!   3. Az $ABCD$ húrnégyszög $AC$ átlója a húrnégyszöghöz tartozó kör átmérője. Bizonyítsa be, hogy a négyszög szemközti oldalainak a $BD$ átlóra eső merőleges vetületei egyenlő hosszúak!   4. A $p$ valós paraméter mely értékei mellett van valós megoldása a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \text{sin}3x\cdot \text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-4x\right)+1}}{{\displaystyle \text{sin}\left(\frac{\pi }{3}-7x\right)-\text{cos}\left(\frac{\pi }{6}+x\right)+p}}=0}\end{array}$ egyenletnek? Számítsa ki az egyenlet gyökeit!   5. Bergengóciában a hivatalos fizetőeszköz a peták. A 10, 15 és 20 petákos érmék ezüstből, az 1, 2 és 3 petákos érmék rézből készültek. A pályaudvaron található automata pénzváltó a következőképpen tudja felváltani az ezüstérméket: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{ccccccccc}\hfill 20\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 15\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 15\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 10\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 10\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 2\hfill & \hfill +\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}}\end{array}$ Pistának kizárólag ezüstérmékben 125 petákja volt, és valamennyi ezüstpénzét rézre váltotta fel. Jancsi, miután megszámolta, hogy Pistának mely rézérmékből hány darabja lett a váltás után, kijelentette: ,,Most egyértelműen meg tudom mondani, hogy milyen ezüstérméid voltak.'' Milyen következtetéssel tudta Jancsi egyértelműen megállapítani, hogy Pistának a váltás előtt milyen ezüstérméi voltak? (Megjegyezzük, hogy Jancsi Pista ezüstérméiről csupán annyit tudott, hogy összes pénze a váltás előtt a 20, 15 és 10 petákosok közül került ki.)   6. A valós számok halmazán értelmezett $x\mapsto f\left(x\right)$ függvényről a következőket tudjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x-2\right)+2f\left(-x\right)=x^2+1.}\end{array}$ Határozza meg az $f\left(x\right)$ függvény szélsőértékének helyét és nagyságát!     Második forduló       1. Legyen $A$ egy legalább kétjegyű (tízes számrendszerbeli) egész szám. Tekintsük azt a $B$ számot, amely úgy keletkezik, hogy az $A$ szám számjegyeit fordított sorrendben írjuk le. Bizonyítsa be, hogy ha $A$ első és utolsó számjegyeinek különbsége páros szám, akkor $|A-B|$ osztható 18-cal!   2. Az $ABC$ derékszögű háromszög $AC$ és $BC$ befogói fölé kifelé megrajzoljuk az $ACDE$ és a $BFGC$ négyzeteket. Az $AF$ egyenes a $BC$ oldalt $K$ pontban, a $BE$ egyenes az $AC$ oldalt $H$ pontban metszi. Jelöljük a $BE$ és az $AF$ egyenesek közös pontját $M$-mel. Bizonyítsa be, hogy a $KCHM$ négyszög területe az $AMB$ háromszög területével egyenlő!   3. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left[\text{log}{}_{\left(\sqrt[]{x}-1\right)}\left(x-1\right)+\text{log}{}_{\left(x-1\right)}{\left(\sqrt[]{x}-1\right)}^2+5\right]}^2=}\\ \hfill {\displaystyle =4\left[\text{log}{}_{\left(\sqrt[]{x}-1\right)}\left(x-1\right)+2\right]\left[\text{log}{}_{\left(x-1\right)}{\left(\sqrt[]{x}-1\right)}^2+3\right]\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$   4. Az $ABC$ háromszögben az $ACB\sphericalangle ={60}^{\circ }$, a $CAB\sphericalangle$ szögfelezője a $BC$ oldalt a $D$ pontban, az $ABC\sphericalangle$ felezője az $AC$ oldalt az $E$ pontban metszi. Az $AD$ és a $BE$ szakaszok metszéspontja $O$. Bizonyítsa be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle CD+CE=CO\sqrt[]{3}\mathrm{.}}\end{array}$   5. Az $ABCD$ téglalap oldalai: $AB=CD=5a$, $BC=DA=3a$ hosszúságúak ($a\in {\text{R}}^{+}$). Az oldalakra ugyanazon körüljárási irányban felmérjük az $\begin{array}{c}{\displaystyle x=A{A}_1=B{B}_1=C{C}_1=D{D}_1}\end{array}$ szakaszokat úgy, hogy az $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ paralelogramma a téglalap belsejében legyen. Határozza meg azon $x$ értéket, amely mellett a beírt $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ paralelogramma hegyesszöge a legkisebb! Számítsa ki ezt a legkisebb szöget!     Harmadik (döntő) forduló       1. Határozza meg azokat a $k$ és $m$ egész számokat, amelyekre teljesül a következő egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle k^2+m^2+k+m+4\sqrt[]{k^2-2km+m+11}+4\sqrt[]{m^2-2km+k+19}=4km-30.}\end{array}$   2. Az $ABC$ szabályos háromszög $AB$ oldalán jelöljünk ki egy $P$ belső pontot. Ezután rajzoljunk az $AP$ és a $BP$ szakaszok fölé kifelé egy-egy szabályos $APQ$ és $BPR$ háromszöget. Az $ABC$ háromszög súlypontját jelöljük $S_1$-gyel, az $APQ$ háromszög súlypontját $S_2$-vel, a $BPR$ háromszög súlypontját $S_3$-mal. Hogyan választható meg a $P$ pont, ha azt akarjuk, hogy az $S_1{S}_2{S}_3$ háromszög területe a) minimális, b) maximális  legyen?   3. a) Igazolja, hogy a $p$ valós paraméter bármely értékénél a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2-10px+7p-1=0}\end{array}$ egyenletnek két különböző valós gyöke van. b) A $p$ értékétől függően hány gyöke van az egyenletnek a $]-1;1[$ intervallumban?     II. kategória: Nem speciális tantervű gimnáziumok   Első (iskolai) forduló       1. Mely természetes $n$ szám esetén teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{2}3\cdot \text{log}{}_{3}4\cdot \text{log}{}_{4}5\cdot \text{...}\cdot \text{log}{}_n\left(n+1\right)=10?}\end{array}$   2. Az $x_0$, $x_1$, $x_2$, $\text{...}$ sorozatban $x_0=a$, $x_1=b$ adott pozitív számok, és a sorozat további tagjainak képzési szabálya: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{n+2}=\frac{x_{n+1}+1}{x_n}\left(n=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Fejezzük ki $x_{1998}$ értékét $a$ és $b$ segítségével!   3. Határozzuk meg a derékszögű koordinátarendszer síkjában azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre igaz, hogy létezik olyan téglalap, amelynek a kerülete a pont első koordinátájával, területe pedig a pont második koordinátájával egyenlő!   4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+2y+3z=2\left(\sqrt[]{x-1}+\sqrt[]{2y-1}+\sqrt[]{3z-1}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   5. Az $ABC$ derékszögű háromszög hozzáírt köreinek (külső érintő köreinek) a középpontjai $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$. Bizonyítsuk be, hogy az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög területe legalább $\left(\sqrt[]{8}+2\right)$-szerese az $ABC$ háromszög területének!     Második forduló       1. Felírtunk a táblára $n$ db valós számot ($n\ge 5$); ezek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:  a) a számok között nincs a 0, de ott van az 1999;  b) a felírt számok közül bármely négy (megfelelő sorrendben véve) egy mértani sorozat egymás utáni négy tagja.  Adjuk meg a felírt számokat!   2. Egy derékszögű háromszögbe kétféle módon is beírtunk egy négyzetet: az első esetben a négyzet két oldala egy-egy befogón van, egy csúcsa pedig az átfogón; a második esetben a négyzet oldala az átfogón van, egy-egy csúcsa pedig egy-egy befogón. Az első esetben a négyzet területe 441, a másodikban 440 területegység. Mekkora a befogók összege?   3. Egy szabályos négyoldalú gúla beírt gömbjének a középpontja, valamint élérintő gömbjének a középpontja egyenlő távol van a gúla alapsíkjától. Mekkora a gúla térfogata, ha alapélének a hossza 2? (Az élérintő gömb a gúla minden élét az él belső pontjában érinti, a beírt gömb pedig minden lapot belső pontban érint.)   4. Tekintsük azokat a pozitív egészekből álló $\left(x\mathrm{,}y\right)$ párokat, amelyek kielégítik az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-y^2={10}^2\cdot {30}^{2n}}\end{array}$ egyenletet ($n$ pozitív egész).  a) Határozzuk meg az egyenletet kielégítő ($x\mathrm{,}y)$ párok számát $n$ függvényeként.   b) Bizonyítsuk be, hogy ezeknek a pároknak a száma nem lehet négyzetszám.     Harmadik (döntő) forduló       1. Oldjuk meg az 1-nél nem nagyobb pozitív számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}=\frac{3}{x+y+z}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Legfeljebb mekkora lehet annak a tetraédernek a térfogata, amelynek az élfelező pontjai egy egységsugarú gömbön helyezkednek el?   3. Egy $n^2\times n^2$-es sakktábla mezőire pozitív egész számokat írunk úgy, hogy két szomszédos mezőn lévő szám különbségének az abszolút értéke nem nagyobb $n$-nél. Bizonyítsuk be, hogy legalább $\left[\frac{n}{2}\right]+1$ számú mezőn ugyanaz a szám áll. ($\left[\frac{n}{2}\right]$ az $\frac{n}{2}$ egészrészét jelöli; két mező szomszédos, ha van közös oldaluk.)     III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok   Első forduló       1. Valamikor a huszadik században a 99 évnél nem idősebb és különböző korú Alexander és Bernát mindketten éppen annyi idősek voltak, mint amennyi a születési évszámukban a számjegyek összege. Hány év közöttük a korkülönbség?   2. Az $ABC$ háromszög $AB$ oldalának egy belső pontja a $D$ pont. Az $ACD$ háromszögbe és a $CDB$ háromszögbe írt körök egymást a $CD$ szakaszon érintik. Bizonyítsuk be, hogy az $ABC$ háromszögbe írt kör az $AB$ oldalt a $D$ pontban érinti.   3. Egy szabályos négyoldalú gúla köré írható gömb sugara $R$. A gúla oldallapjainak (összesen négy darab) síkját, valamint a gúla körülírt gömbjét belülről érintő gömb sugara $\varrho$. Mekkora szöget zár be a gúla két szomszédos oldallapja, ha $\frac{R}{\varrho }=\frac{1+\sqrt[]{2}}{2}$?   4. Van-e olyan $P\left(x\right)$ egész együtthatós polinom, amelyre $P\left(10\right)=400$, $P\left(14\right)=440$ és $P\left(18\right)=520$?   5. Az $a$, $b$, $c$ pozitív számokra és az $n\ge 2$ egészre $a^n+b^n=c^n$. Mely $k$ pozitív egészekre szerkeszthető az $a^k$, $b^k$, $c^k$ oldalakkal tompaszögű háromszög?     Második (döntő) forduló       1. Legyen $n>1$ tetszőleges, és jelöljük $k$-val az $n$-nél nem nagyobb (pozitív) prímek számát. Tekintsünk $k+1$ darab olyan pozitív egészt, amelyek közül egyik sem osztója az összes többi szorzatának. Bizonyítsuk be, hogy a $k+1$ pozitív egész között van olyan, amely nagyobb, mint $n$.   2. Az $x^4-2x^2+ax+b$ polinomnak négy különböző gyöke van a valós számok körében. Bizonyítsuk be, hogy mindegyik gyök abszolút értéke kisebb, mint $\sqrt[]{3}$.   3. Tegyük fel, hogy egy konvex sokszög minden oldala egész szám és a kerülete páratlan szám. Bizonyítsuk be, hogy a sokszög területe legalább $\frac{\sqrt[]{3}}{4}$.