Cím: Az 1998/99. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1999/november, 466 - 470. oldal  PDF file
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
 
I. kategória: Szakközépiskolák
 
Első (iskolai) forduló
 
 

 
1. Határozza meg a
2x5+3x4-2x3-x2+3x+1
polinom számértékét, ha 1x=1-x2.
 
2. A természetes számok H részhalmazának elemei a következő tulajdonsággal rendelkeznek:
a) 6H.
b) Ha xH, akkor 3xH.
c) Ha (8x-2862)H, akkor xH.
Bizonyítsa be, hogy 1998H!
 
3. Az ABCD húrnégyszög AC átlója a húrnégyszöghöz tartozó kör átmérője. Bizonyítsa be, hogy a négyszög szemközti oldalainak a BD átlóra eső merőleges vetületei egyenlő hosszúak!
 
4. A p valós paraméter mely értékei mellett van valós megoldása a
sin3xcos(π3-4x)+1sin(π3-7x)-cos(π6+x)+p=0
egyenletnek?
Számítsa ki az egyenlet gyökeit!
 
5. Bergengóciában a hivatalos fizetőeszköz a peták. A 10, 15 és 20 petákos érmék ezüstből, az 1, 2 és 3 petákos érmék rézből készültek. A pályaudvaron található automata pénzváltó a következőképpen tudja felváltani az ezüstérméket:
20=15+2+2+115=10+2+2+110=3+3+2+2
Pistának kizárólag ezüstérmékben 125 petákja volt, és valamennyi ezüstpénzét rézre váltotta fel. Jancsi, miután megszámolta, hogy Pistának mely rézérmékből hány darabja lett a váltás után, kijelentette: ,,Most egyértelműen meg tudom mondani, hogy milyen ezüstérméid voltak.''
Milyen következtetéssel tudta Jancsi egyértelműen megállapítani, hogy Pistának a váltás előtt milyen ezüstérméi voltak? (Megjegyezzük, hogy Jancsi Pista ezüstérméiről csupán annyit tudott, hogy összes pénze a váltás előtt a 20, 15 és 10 petákosok közül került ki.)
 
6. A valós számok halmazán értelmezett xf(x) függvényről a következőket tudjuk:
f(x-2)+2f(-x)=x2+1.
Határozza meg az f(x) függvény szélsőértékének helyét és nagyságát!
 
 
Második forduló
 
 

 
1. Legyen A egy legalább kétjegyű (tízes számrendszerbeli) egész szám. Tekintsük azt a B számot, amely úgy keletkezik, hogy az A szám számjegyeit fordított sorrendben írjuk le. Bizonyítsa be, hogy ha A első és utolsó számjegyeinek különbsége páros szám, akkor |A-B| osztható 18-cal!
 
2. Az ABC derékszögű háromszög AC és BC befogói fölé kifelé megrajzoljuk az ACDE és a BFGC négyzeteket. Az AF egyenes a BC oldalt K pontban, a BE egyenes az AC oldalt H pontban metszi. Jelöljük a BE és az AF egyenesek közös pontját M-mel. Bizonyítsa be, hogy a KCHM négyszög területe az AMB háromszög területével egyenlő!
 
3. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
[log(x-1)(x-1)+log(x-1)(x-1)2+5]2==4[log(x-1)(x-1)+2][log(x-1)(x-1)2+3].

 
4. Az ABC háromszögben az ACB=60, a CAB szögfelezője a BC oldalt a D pontban, az ABC felezője az AC oldalt az E pontban metszi. Az AD és a BE szakaszok metszéspontja O. Bizonyítsa be, hogy
CD+CE=CO3.

 
5. Az ABCD téglalap oldalai: AB=CD=5a, BC=DA=3a hosszúságúak (aR+). Az oldalakra ugyanazon körüljárási irányban felmérjük az
x=AA1=BB1=CC1=DD1
szakaszokat úgy, hogy az A1B1C1D1 paralelogramma a téglalap belsejében legyen.
Határozza meg azon x értéket, amely mellett a beírt A1B1C1D1 paralelogramma hegyesszöge a legkisebb! Számítsa ki ezt a legkisebb szöget!
 
 
Harmadik (döntő) forduló
 
 

 
1. Határozza meg azokat a k és m egész számokat, amelyekre teljesül a következő egyenlet:
k2+m2+k+m+4k2-2km+m+11+4m2-2km+k+19=4km-30.

 
2. Az ABC szabályos háromszög AB oldalán jelöljünk ki egy P belső pontot. Ezután rajzoljunk az AP és a BP szakaszok fölé kifelé egy-egy szabályos APQ és BPR háromszöget. Az ABC háromszög súlypontját jelöljük S1-gyel, az APQ háromszög súlypontját S2-vel, a BPR háromszög súlypontját S3-mal.
Hogyan választható meg a P pont, ha azt akarjuk, hogy az S1S2S3 háromszög területe a) minimális, b) maximális  legyen?
 
3. a) Igazolja, hogy a p valós paraméter bármely értékénél a
2x2-10px+7p-1=0
egyenletnek két különböző valós gyöke van.
b) A p értékétől függően hány gyöke van az egyenletnek a ]-1;1[ intervallumban?
 
 
II. kategória: Nem speciális tantervű gimnáziumok
 
Első (iskolai) forduló
 
 

 
1. Mely természetes n szám esetén teljesül, hogy
log23log34log45...logn(n+1)=10?

 
2. Az x0, x1, x2, ... sorozatban x0=a, x1=b adott pozitív számok, és a sorozat további tagjainak képzési szabálya:
xn+2=xn+1+1xn(n=0,1,2,...).
Fejezzük ki x1998 értékét a és b segítségével!
 
3. Határozzuk meg a derékszögű koordinátarendszer síkjában azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre igaz, hogy létezik olyan téglalap, amelynek a kerülete a pont első koordinátájával, területe pedig a pont második koordinátájával egyenlő!
 
4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
x+2y+3z=2(x-1+2y-1+3z-1).

 
5. Az ABC derékszögű háromszög hozzáírt köreinek (külső érintő köreinek) a középpontjai A', B', C'. Bizonyítsuk be, hogy az A'B'C' háromszög területe legalább (8+2)-szerese az ABC háromszög területének!
 
 
Második forduló
 
 


 
1. Felírtunk a táblára n db valós számot (n5); ezek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: 
a) a számok között nincs a 0, de ott van az 1999; 
b) a felírt számok közül bármely négy (megfelelő sorrendben véve) egy mértani sorozat egymás utáni négy tagja. 
Adjuk meg a felírt számokat!
 
2. Egy derékszögű háromszögbe kétféle módon is beírtunk egy négyzetet: az első esetben a négyzet két oldala egy-egy befogón van, egy csúcsa pedig az átfogón; a második esetben a négyzet oldala az átfogón van, egy-egy csúcsa pedig egy-egy befogón. Az első esetben a négyzet területe 441, a másodikban 440 területegység. Mekkora a befogók összege?
 
3. Egy szabályos négyoldalú gúla beírt gömbjének a középpontja, valamint élérintő gömbjének a középpontja egyenlő távol van a gúla alapsíkjától. Mekkora a gúla térfogata, ha alapélének a hossza 2? (Az élérintő gömb a gúla minden élét az él belső pontjában érinti, a beírt gömb pedig minden lapot belső pontban érint.)
 
4. Tekintsük azokat a pozitív egészekből álló (x,y) párokat, amelyek kielégítik az
x2-y2=102302n
egyenletet (n pozitív egész). 
a) Határozzuk meg az egyenletet kielégítő (x,y) párok számát n függvényeként.  
b) Bizonyítsuk be, hogy ezeknek a pároknak a száma nem lehet négyzetszám.
 
 
Harmadik (döntő) forduló
 
 

 
1. Oldjuk meg az 1-nél nem nagyobb pozitív számok halmazán a következő egyenletet:
x1+y+zx+y1+z+xy+z1+x+yz=3x+y+z.

 
2. Legfeljebb mekkora lehet annak a tetraédernek a térfogata, amelynek az élfelező pontjai egy egységsugarú gömbön helyezkednek el?
 
3. Egy n2×n2-es sakktábla mezőire pozitív egész számokat írunk úgy, hogy két szomszédos mezőn lévő szám különbségének az abszolút értéke nem nagyobb n-nél. Bizonyítsuk be, hogy legalább [n2]+1 számú mezőn ugyanaz a szám áll. ([n2] az n2 egészrészét jelöli; két mező szomszédos, ha van közös oldaluk.)

 
 
III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok
 
Első forduló
 
 

 
1. Valamikor a huszadik században a 99 évnél nem idősebb és különböző korú Alexander és Bernát mindketten éppen annyi idősek voltak, mint amennyi a születési évszámukban a számjegyek összege. Hány év közöttük a korkülönbség?
 
2. Az ABC háromszög AB oldalának egy belső pontja a D pont. Az ACD háromszögbe és a CDB háromszögbe írt körök egymást a CD szakaszon érintik. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszögbe írt kör az AB oldalt a D pontban érinti.
 
3. Egy szabályos négyoldalú gúla köré írható gömb sugara R. A gúla oldallapjainak (összesen négy darab) síkját, valamint a gúla körülírt gömbjét belülről érintő gömb sugara ϱ. Mekkora szöget zár be a gúla két szomszédos oldallapja, ha Rϱ=1+22?
 
4. Van-e olyan P(x) egész együtthatós polinom, amelyre P(10)=400, P(14)=440 és P(18)=520?
 
5. Az a, b, c pozitív számokra és az n2 egészre an+bn=cn. Mely k pozitív egészekre szerkeszthető az ak, bk, ck oldalakkal tompaszögű háromszög?
 
 
Második (döntő) forduló
 
 

 
1. Legyen n>1 tetszőleges, és jelöljük k-val az n-nél nem nagyobb (pozitív) prímek számát. Tekintsünk k+1 darab olyan pozitív egészt, amelyek közül egyik sem osztója az összes többi szorzatának. Bizonyítsuk be, hogy a k+1 pozitív egész között van olyan, amely nagyobb, mint n.
 
2. Az x4-2x2+ax+b polinomnak négy különböző gyöke van a valós számok körében. Bizonyítsuk be, hogy mindegyik gyök abszolút értéke kisebb, mint 3.
 
3. Tegyük fel, hogy egy konvex sokszög minden oldala egész szám és a kerülete páratlan szám. Bizonyítsuk be, hogy a sokszög területe legalább 34.