Kezdőlap


Cím:	Az 1999. évi magyar-izraeli matematikaverseny
Füzet:	1999/május, 266 - 267. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben az évben március 27-én és 28-án, immár tizedik alkalommal került sor az izraeli‐magyar matematikaversenyre, ezúttal Magyarországon. A két versenynapon olimpiai mintára három-három feladat megoldásában mérte össze tudását a két ország 4-4 versenyzője. A versenyen minden egyes feladat 7 pontot ért. A magyar versenyzők betűrendben (zárójelben a versenyen elért pontszám):
Gyenes Zoltán, 11. o. Apáczai Csere János Gimnázium, Budapest (38 pont);
Kiss Gergely, 11. o. Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimnázium, Budapest (30 pont) ;
Terpai Tamás 12. o. Fazekas Miháy Főv. Gyak. Gimnázium, Budapest (39 pont);
Zábrádi Gergely 11. o. Révai Miklós Gimnázium, Győr (38 pont). Az izraeli csapat legjobb pontszerzője, Mark Braverman 31 pontot ért el a versenyen. A további versenyzők: Ran Tesler (23 pont), Oran Lang (23 pont), Amitai Yuval (12 pont) . A feladatok megoldását a versenyzők tollából őszi számaink valamelyikében közöljük.

Első nap

1. Az

f (x)

legalább másodfokú polinom. Készítsük el a

g_{i} (x)

polinomsorozatot a következőképpen:

\begin{matrix} g_{1} (x) = f (x), g_{n + 1} (x) = f (g_{n} (x)) . \end{matrix}

Jelölje

r_{n}

g_{n}

gyökeinek az átlagát.
Mekkora

r_{99}

értéke, ha tudjuk, hogy

r_{19} = 99

2. Adott a síkon

2 n + 1

különböző egyenes, úgy, hogy közülük bármely három olyan háromszöget határoz meg, amelyben nincsen derékszög. Legfeljebb hány hegyesszögű lehet az egyenesek által meghatározott háromszögek között?

3. Határozzuk meg azokat az

f : Q \to Q

függvényeket, amelyekre teljesül, hogy bármely két

x

y

racionális számra

\begin{matrix} f (x + y) = f (x) \cdot f (y) - f (x \cdot y) + 1. \end{matrix}

Második nap

4. Az

a_{1}

a_{2}

...

sorozatban

a_{1} = c

pozitív egész szám, továbbá

\begin{matrix} a_{n + 1} = c \cdot a_{n} + \sqrt[]{(c^{2} - 1) \cdot (a_{n}^{2} - 1)} . \end{matrix}

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat elemei pozitív egész számok.

5. Legyen

f (x, y, z) = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x + y + z}

minden olyan

x

y

z

-re, amelyre

x + y + z \neq 0

. Keressünk olyan

P (x_{0}, y_{0}, z_{0})

pontot, amelyre

\begin{matrix} 0 < x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2} < \frac{1}{1999} és 1,999 < f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) < 2. \end{matrix}

6. Egy feleletválasztós tesztvizsga 4 kérdésből állt. Minden kérdésre háromféle válasz volt adható. A vizsgán résztvevő diákokról kiderült, hogy bármely hármójukhoz volt olyan kérdés, amelyre mindhárman másképpen válaszoltak. Legfeljebb hány diák vehetett részt a vizsgán?