Cím: Az 1999. évi magyar-izraeli matematikaverseny
Füzet: 1999/május, 266 - 267. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben az évben március 27-én és 28-án, immár tizedik alkalommal került sor az izraeli‐magyar matematikaversenyre, ezúttal Magyarországon. A két versenynapon olimpiai mintára három-három feladat megoldásában mérte össze tudását a két ország 4-4 versenyzője. A versenyen minden egyes feladat 7 pontot ért. A magyar versenyzők betűrendben (zárójelben a versenyen elért pontszám):
Gyenes Zoltán, 11. o. Apáczai Csere János Gimnázium, Budapest (38 pont);
Kiss Gergely, 11. o. Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimnázium, Budapest (30 pont) ;
Terpai Tamás 12. o. Fazekas Miháy Főv. Gyak. Gimnázium, Budapest (39 pont);
Zábrádi Gergely 11. o. Révai Miklós Gimnázium, Győr (38 pont). Az izraeli csapat legjobb pontszerzője, Mark Braverman 31 pontot ért el a versenyen. A további versenyzők: Ran Tesler (23 pont), Oran Lang (23 pont), Amitai Yuval (12 pont) . A feladatok megoldását a versenyzők tollából őszi számaink valamelyikében közöljük.

 
 
Első nap
 
 

 
1. Az f(x) legalább másodfokú polinom. Készítsük el a gi(x) polinomsorozatot a következőképpen:
g1(x)=f(x),gn+1(x)=f(gn(x)).
Jelölje rn a gn gyökeinek az átlagát.
Mekkora r99 értéke, ha tudjuk, hogy r19=99?
 
2. Adott a síkon 2n+1 különböző egyenes, úgy, hogy közülük bármely három olyan háromszöget határoz meg, amelyben nincsen derékszög. Legfeljebb hány hegyesszögű lehet az egyenesek által meghatározott háromszögek között?
 
3. Határozzuk meg azokat az f:QQ függvényeket, amelyekre teljesül, hogy bármely két x, y racionális számra
f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1.

 
 
Második nap
 
 

 
4. Az a1, a2, ... sorozatban a1=c pozitív egész szám, továbbá
an+1=can+(c2-1)(an2-1).
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat elemei pozitív egész számok.
 
5. Legyen f(x,y,z)=x2+y2+z2x+y+z minden olyan x, y, z-re, amelyre x+y+z0. Keressünk olyan P(x0,y0,z0) pontot, amelyre
0<x02+y02+z02<11999és1,999<f(x0,y0,z0)<2.

 
6. Egy feleletválasztós tesztvizsga 4 kérdésből állt. Minden kérdésre háromféle válasz volt adható. A vizsgán résztvevő diákokról kiderült, hogy bármely hármójukhoz volt olyan kérdés, amelyre mindhárman másképpen válaszoltak. Legfeljebb hány diák vehetett részt a vizsgán?