Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek V.
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1999/április, 209. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Az $n$ milyen értékére lesz az $a$, $b$, $c_n$ egy számtani sorozat három egymást követő tagja, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle a=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\frac{0\cdot \pi }{5}\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\frac{1\cdot \pi }{5}\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\frac{2\cdot \pi }{5}\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\frac{3\cdot \pi }{5}\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\frac{4\cdot \pi }{5}\right)+\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\left(\frac{5\cdot \pi }{5}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle b=\text{sin}{}^{\text{cos}{60}^{\circ }}{60}^{\circ }+\text{cos}{}^{\text{sin}{30}^{\circ }}{30}^{\circ }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle c_1=\mathrm{3,}{c}_n=2\cdot \sqrt[]{c_{n-1}}?}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Az $5x^2-6\left(a+b\right)x+a^2+b^2+2ab=0$ másodfokú egyenletben az $a$ és a $b$ valós paraméterek, amelyekre $1<a+b<5$. Mutassuk meg, hogy az egyenlet egyik gyöke 0-nál nagyobb, de 1-nél kisebb, a másik pedig 1-nél nagyobb. Igaz-e a feladat állításának a megfordítása?   3. Határozzuk meg az $n$, $m$ egész számokat olyan módon, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle A=n^5-5n^3+4n-2^m+1}\end{array}$ osztható legyen 5-tel!   4. Egy derékszögű háromszög beírt körének középpontja a csúcsoktól $x$, $y$ és $z$ távolságra van ($z$ a kör középpontjának távolsága a derékszögű csúcstól). Mutassuk meg, hogy az $xy$, $xz$ és $yz$ oldalhosszúságú háromszög egyik szöge ${135}^{\circ }$.   5. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyet az ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=1$, az ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=1$ és az ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=1$ egyenletű körök belülről érintenek.   6. Egy pozitív számokból álló számtani sorozat nem feltétlenül egymást követő tagjai $a$, $b$ és $c$. Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{c-b}{a}+\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}=0.}\end{array}$ Adjuk meg a sorozat első $n$ elemének összegét, ha ismerjük az első tagját.   7. Tekintsük a következő függvényeket: $f\left(x\right)=\text{sin}{}^{4}x+\text{cos}{}^{4}x$, $g\left(x\right)=\text{cos}x$. Adjunk meg olyan geometriai transzformációt, amely $g$ képét $f$ képébe viszi.   8. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[3]{x-72}+\sqrt[3]{y+1998}}& {\displaystyle =\mathrm{25,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+y}& {\displaystyle =1999.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Számadó László